2022届一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破：高考中的三角函数综合问题.docx

高考专题突破　高考中的三角函数综合问题
考点自测
1．已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意，得：＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D.
2．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．2 C.＋1 D.＋2
答案　B
解析　依题意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)，
当0≤x<时，≤x＋<，
f(x)的最大值是2.
3．(2022·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
答案　
解析　∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，
又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝－－(k∈Z)．
当k＝－1时，φ取得最小正值.
4．(2022·课标全国Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)·sin C，则△ABC面积的最大值为________．
答案　
解析　∵＝＝＝2R，a＝2，
又(2＋b)(sin A－sin B)
＝(c－b)sin C可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，
∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
∴＝＝＝cos A，∴A＝60°.
∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°
＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，
∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.
5．(2022·大纲全国)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．
答案　
解析　y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1，设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2(t－)2＋，∴当t＝时，函数取得最大值.

题型一　三角函数的图象与性质
例1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)
＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1.
由－1≤sin(ωx－)≤1，
得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，
所以＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x－)－1，
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
思维升华　三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．
　(2022·四川)已知函数f(x)＝sin(3x＋)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是其次象限角，f()＝cos(α＋)cos 2α，求cos α－sin α的值．
解　(1)由于函数y＝sin x的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.
(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos αcos
－sin αsin)·(cos2α－sin2α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是其次象限角，
知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.
由α是其次象限角，知cos α－sin α<0，
此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
题型二　三角函数和解三角形
例2　(2021·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
解　(1)由于a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cos C＝＝＝－.
又0<C<π，故C＝.
(2)由题意得
＝.
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①
由于C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，
由于cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝，
解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.
思维升华　三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的机敏运用是解决此类问题的关键．
　(2022·重庆)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.
(1)若a＝2，b＝，求cos C的值；
(2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C，且△ABC的面积S＝sin C，求a和b的值．
解　(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝.
由余弦定理得cos C＝＝＝－.
(2)由sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C，可得
sin A·＋sin B·＝2sin C，
化简得sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝4sin C.
由于sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin C，
所以sin A＋sin B＝3sin C.
由正弦定理可知a＋b＝3c.
又由于a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.
由于S＝absin C＝sin C，所以ab＝9，
从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.
题型三　三角函数和平面对量
例3　(2022·山东)已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n), 函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(，)和点(，－2)．
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
解　(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.
由于y＝f(x)的图象过点(，)和(，－2)，
所以
即解得
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．
由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋)．
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，
由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．
将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，
由于0<φ<π，所以φ＝，
因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得
kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z.
思维升华　(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，留意角的范围对变形过程的影响．
　已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋.
(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的值域；
(2)当x∈[，]时，若f(x)＝8，求函数f(x－)的值；
(3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式并推断其奇偶性．
解　(1)f(x)＝a·b＋|b|2＋
＝5sin xcos x＋2cos2x＋4cos2x＋sin2x＋
＝5sin xcos x＋5cos2x＋
＝sin 2x＋5×＋
＝5sin(2x＋)＋5.
由≤x≤，得≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为[，10]．
(2)f(x)＝5sin(2x＋)＋5＝8，
则sin(2x＋)＝，
所以cos(2x＋)＝－，
f(x－)＝5sin 2x＋5＝5sin(2x＋－)＋5
＝＋7.
(3)由题意知f(x)＝5sin(2x＋)＋5→
g(x)＝5sin[2(x－)＋]＋5－5＝5sin 2x，
即g(x)＝5sin 2x，
g(－x)＝5sin(－2x)＝－5sin 2x＝－g(x)，
故g(x)为奇函数.

(时间：70分钟)
1．(2022·广东)已知函数f(x)＝Asin(x＋) ，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
解　(1)∵f()＝Asin(＋)＝Asin
＝Asin ＝A＝，∴A＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)，
故f(θ)＋f(－θ)
＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，
∴[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝，
∴cos θ＝，∴cos θ＝.
又θ∈(0，)，∴sin θ＝＝，
∴f(－θ)＝sin(π－θ)＝sin θ＝.
2．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在同一个周期内，当x＝时，y取最大值1；当x＝时，y取最小值－1.
(1)求函数的解析式y＝f(x)；
(2)函数y＝sin x的图象经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图象；
(3)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0<a<1)，求在[0,2π]内的全部实数根之和．
解　(1)∵T＝2(π－)＝π，∴ω＝3，
又∵sin(π＋φ)＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<，得φ＝－，
∴函数的解析式为f(x)＝sin(3x－)．
(2)y＝sin x的图象向右平移个单位，
得到y＝sin(x－)的图象，
再由y＝sin(x－)的图象上全部点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin(3x－)的图象．
(3)∵f(x)＝sin(3x－)的最小正周期为π，
∴f(x)＝sin(3x－)在[0,2π]内恰有3个周期，
∴sin(3x－)＝a(0<a<1)在[0,2π]内有6个实数根且x1＋x2＝.
同理，x3＋x4＝，x5＋x6＝π，
故全部实数根之和为＋＋＝.
3．(2021·四川)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
解　(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得
[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝，
由正弦定理，有＝，所以sin B＝＝.
由题意知a>b，则A>B，故B＝，
依据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos B＝.
4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．
解　(1)由题图知A＝2，＝，则＝4×，
∴ω＝.
又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]
＝2sin(－＋φ)＝0，
∴sin(φ－)＝0，
∵0<φ<，∴－<φ－<，
∴φ－＝0，即φ＝，
∴f(x)＝2sin(x＋)．
(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]
＝2sin(x＋)，
∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×
＝2－2cos(3x＋)，
∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，
∴当3x＋＝π，即x＝时，[g(x)]max＝4.
5．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π.
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．
解　(1)∵b＝(cos x，sin x)，
c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，
∴f(x)＝b·c
＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α
＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．
令t＝sin x＋cos x，
则2sin xcos x＝t2－1，且－1<t<.
则y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<，
∴t＝－时，ymin＝－，
此时sin x＋cos x＝－，
即sin＝－，
∵<x<π，∴<x＋<π，
∴x＋＝π，∴x＝.
∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
(2)∵a与b的夹角为，
∴cos ＝
＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．
∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝.
∵a⊥c，
∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，
∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0.
∴sin 2α＋cos 2α＝0，∴tan 2α＝－.