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阶段回扣练6 不等式
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题
1．“|x|＜2”是“x2－x－6＜0”的
( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 不等式|x|＜2的解集是(－2,2)，而不等式x2－x－6＜0的解集是(－2,3)，于是当x∈(－2,2)时，可得x∈(－2,3)，反之则不成立，故选A.
答案 A
2．(2021·深圳调研)若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是
( )
A．|a|＞|b| B．a3＞b3
C.＜ D．ab2＞b3
解析 在选项A，C中，当a＝2，b＝－3时，不等式不成立；D中当a＝2，b＝0时，不等式不成立，故选B.
答案 B
3．已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(10x)＞0的解集为
( )
A．{x|x＜－1或x＞－lg 2}
B．{x|－1＜x＜－lg 2}
C．{x|x＞－lg 2}
D．{x|x＜－lg 2}
解析 由已知条件，得0＜10x＜，解得x＜lg ＝－lg 2.
答案 D
4．(2022·宁波调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为
( )
A．(－3,0] B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0)
解析 由题意可得
解得－3＜k＜0，故选D.
答案 D
5．(2022·甘肃诊断)设x，y满足则z＝x＋y
( )
A．有最小值2，无最大值 B．有最小值2，最大值3
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分所示，将z＝x＋y变成截距式y＝－x＋z，所以直线在y轴上的截距的最大值即为z的最大值，直线在y轴上的截距的最小值即为z的最小值，由图可知，当直线过A(2,0)时，截距最小，即zmin＝0＋2＝2，z无最大值，故选A.
答案 A
6．(2021·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为
( )
A．4 B．5 C. D.
解析 依题意，得3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)，因此有≤4，当且仅当x＝2y时取等号，即的最大值是4，结合题意得λ≥，
故λ≥4，即λ的最小值是4.
答案 A
7．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是
( )
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
解析 ∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－4<m<2.
答案 D
8．(2022·山东卷)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为
( )
A．5 B．4
C. D．2
解析 不等式组表示的平面区域为图中的阴影部分．
由于a＞0，b＞0，所以目标函数z＝ax＋by在点A(2,1)处取得最小值，即2a＋b＝2.
法一 a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≥4，即a2＋b2的最小值为4.
法二 表示坐标原点与直线2a＋b＝2上的点之间的距离，故的最小值为＝2，即a2＋b2的最小值为4.
答案 B
二、填空题
9．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．
解析 由a＞0，b＞0，ln(a＋b)＝0得
故＋＝＝≥＝＝4，
当且仅当a＝b＝时上式取“＝”．
答案 4
10．(2022·重庆模拟)若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．
解析 依题意得即a＝5b＜0，不等式ax2＋bx－a＞0，即5bx2＋bx－4b＞0(b＜0)，5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜.因此，不等式ax2＋bx－a＞0的解集是.
答案
11．(2021·舟山质量检测)设x，y满足约束条件 若目标函数z＝2x＋3y取得最小值1，则c的值为________．
解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x＋3y＝1，结合图形可知，要满足题意，直线2x－y－c＝0需经过直线2x＋3y＝1与直线x＝2的交点，即点(2，－1)，于是有2×2＋1－c＝0，c＝5(经检验，符合题意)．
答案 5
12．(2022·南昌模拟)若不等式x2＋2x＋2＞|a－2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
解析 依题意，函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1的最小值是1，于是有|a－2|＜1，即－1＜a－2＜1,1＜a＜3，
即实数a的取值范围是(1,3)．
答案 (1,3)
13．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析 每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案 5 8
14．(2021·广州综合测试)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8，则ab的最大值为________．
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线ax＋by＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝ax＋by取得最大值，于是有a＋4b＝8,8＝a＋4b≥2＝4，ab≤4，当且仅当a＝4b＝4时取等号，因此ab的最大值为4.
答案 4
15．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析 f(x)＝－x2＋x＝－2＋(x≤1)，
故当x＝时，f(x)在(－∞，1)上的最大值为；
函数f(x)＝x，x∈(1，＋∞)为单调递减函数，
故x∈(1，＋∞)时，f(x)＜f(1)＝0，综上，f(x)在R上的最大值为.由m2－m≥解得m≤－或m≥1.
答案 (－∞，－]∪[1，＋∞)
三、解答题
16．解不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.
解 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得<x<1；
③当0<a<1时，>1，解(x－1)<0得1<x<.
综上所述：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<}；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|<x<1}．
17．(2021·绍兴模拟)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N＋)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N＋)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
解 (1)W(t)＝f(t)g(t)＝(4＋)(120－|t－20|)
＝
(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．
当t∈(20,30]时，由于W(t)＝559＋－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，
所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．
18．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．求该企业可获得的最大利润．
解 设生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，
由题意得
所获利润z＝5x＋3y，
画出可行域如图，
由
解得A(3,4)．
∵－3<－<－，
∴当直线5x＋3y＝z经过A点时，zmax＝27.
答 该企业可获得的最大利润为27万元．
19．(2021·济宁期末)小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流淌成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解 (1)由于每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0＜x＜8时，
L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.所以L(x)＝
(2)当0＜x＜8时，L(x)＝－(x－6)2＋9.
此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，
此时，当且仅当x＝时，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．
20．(2021·温州联考)已知函数f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx.
(1)若k＝2，求方程f(x)＝0的解；
(2)若关于x的方程f(x)＝0在(0,2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明＋<4.
解 (1)当k＝2时，f(x)＝|x2－1|＋x2＋2x，
①当x2－1≥0，即x≥1或x≤－1时，方程化为
2x2＋2x－1＝0，解得x＝，
∵0<<1，故舍去，∴x＝.
②当x2－1<0，即－1<x<1时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－.
由①②可知，k＝2时，方程f(x)＝0时解为x＝或x＝－.
(2)不妨设0<x1<x2<2，
∵f(x)＝∴f(x)在(0,1]上是单调函数，
故f(x)＝0在(0,1]上至多有一个解．
若1<x1<x2<2，则x1x2＝－<0，故不符合题意，因此0<x1≤1<x2<2.
由f(x1)＝0，得k＝－，∴k≤－1；
由f(x2)＝0，得k＝－2x2，∴－<k<－1.
故当－<k<－1时，方程f(x)＝0在(0,2)上有两个解；当0<x1≤1<x2<2时，k＝－，2x＋kx2－1＝0.
消去k，得2x1x－x1－x2＝0，即＋＝2x2，
∵x2<2，∴＋<4.
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