福建省龙海二中2021届高三上学期期末考试数学(理)-Word版含答案.docx

龙海二中2022-2021学年上学期期末考试
高三理科数学
（时间：120分钟 满分：150分）
命题：龙海二中 高志荣
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则 等于( ).
第4题图
A． B． C． D．
2．已知复数（是虚数单位），则( ).
A． B．的实部为
C．的虚部为 D．的共轭复数为
3．为了调查任教班级的作业完成的状况，将班级里的52名同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应当是（ ）.
A．13 B．17 C．18 D．21
4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 ( ).
A．3 B．4 C．6 D．8
5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） .
A. B. C. D.
6．已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
8. 若，则目标函数 的取值范围是( )
A．[2，5] B．[1，5] C．[，2] D．[2，6]
9．函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像，只需将的图像( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
10．抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：－y2＝1的左焦点的连线交C1于其次象限内的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。
11．已知a＞0，b＞0，a＋b＝a· b，则y＝a＋b的最小值为 .
12．若直线与圆C：相交于A、B两点,则的值为 ___ ．
13. 在二项式的开放式中恰好第5项的二项式系数最大，则开放式中含项的系数是___ ．
14.数列为等差数列，且，则数列的通项公式是___ ；
15.已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）中，角、、所对应的边分别为、、，若.(1)求角；（Ⅱ）设的最大值.

17.（本小题满分13分）学校为了解同学们对年段和班级管理的满足程度，通过问卷调查了高一年的同学、高二年的同学、高三年的同学共250人，结果如下表：

高一年的同学
高二年的同学
高三年的同学
满足
78

75
不满足
12

5
（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，则高二年的同学应抽取多少人？
（Ⅱ）若，求问卷调查中同学们对年段和班级管理的满足度不小于的概率.
(注：)
（Ⅲ）若高三班级的某班级中的10个同学中有2个对年段和班级的管理不满足，老师从这10个同学中随机选择2个同学进行问卷调查，求这2个同学中对年段和班级的管理不满足的人数x的期望。

18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点.
(Ⅰ)求异面直线EF和PB所成角的大小；
(Ⅱ)求证：平面PCE⊥平面PBC；
(Ⅲ)求二面角E-PC-D的大小.

19.（本小题满分13分）已知为椭圆的左、右顶点，为其右焦点,是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知菱形EFGH的顶点E、G在椭圆C1上，顶点F、H在直线上，求直线EG的方程。

20.（本小题满分14分）已知函数，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数和函数在区间上均为增函数，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个解，求实数的取值范围．
21.（本题满分14分）
（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换
已知平行四边形的四个顶点的坐标分别为，，，.其在矩阵所对应的变换作用下变成菱形。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求矩阵的逆矩阵．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
（Ⅰ）已知曲线的极坐标方程为,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若在平面直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为 (，为参数）．已知曲线上的点M(1，)及对应的参数＝．求曲线的直角坐标方程；
（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求证：,并说明等号成立的条件；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

龙海二中2022-2021学年上学期期末考试卷
高三理科数学参考答案
一、选择题
1．A 2．C 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．A 9．D 10. D
二、填空题
11. 4. 12．0. 13．－56； 14. 15. m∈(－，)∪(，＋∞)．
三、解答题
16、解：(1)由，得，
即，由余弦定理，得，∴； …………6分

（II）=2sinB+cos2B.…………………7分
=2sinB+1－2 sin2B
=－2sin2B+2sinB+1，B∈（0，）……………9分
令t =sinB，则t∈.…………………………10分
则=－2t2+2t+1=－2(t－)2+,t∈.………12分
∴t=时，取得最大值……………………13分
17.解：（Ⅰ）∵高三年的同学人数为80，高一年的同学人数90，
∴高二年的同学人数为：，……………………1分
可得高二年的同学应抽取人.…………………3分
（II）由，且，则基本大事为
. 共有9组.………5分
由得,所以满足条件的基本大事共有7组，…………7分
故所求的概率.…………9分
（III），，
13分

18．解：以直线AB为x轴，直线AD为z轴建立间直角坐标系，如图，则
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
(Ⅰ)∵E为AD中点，∴E(0，1，0).又F为PC中点，
∴F(1，1，1).∴又
∴cos<>=90°,∴异面直线EF和PB所成角
的大小为90°. ……………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF⊥PB，又∵
∴∴EF⊥BC.∴EF⊥平面PBC，又EF平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC. …8分 (Ⅲ)过点D作DH⊥PC于H. 在Rt△PDC中，PD=2DC=2，PC=2
则CH=：HC=2：1， 又P(0，0，2)，C(2，2，0). ∵H().
∴又，∴cos<>=
∴<>=30°. ………12分∴二面角E-PC-D的大小为30°. ………13分
19.Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得，． …3分
故椭圆的方程为．…4分
（Ⅱ）顶点F、H在直线上, EFGH为菱形，EG 垂直FH，设直线EG 的方程为∵E、G在椭圆C1上，设，则 ……9分
∴EG的中点坐标为，由EFGH为菱形可知，点在直线FH：上，
∴直线EG的方程为…………13分
20．（1）解：∵ （∴ 令，得
故函数的单调递增区间为……………………………………4分
（2） 当时，，当时，，要使在上递增，必需
，如使在上递增，必需，即，由上得出，当时，在上均为增函数 ……9分
（3）方程有两个解有两个解
设, （）
随变化如下表

微小值

由于在上，只有一个微小值，的最小值为，
当m时，方程有两个解. ……………14分
21.（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换
解：（Ⅰ）由题意可知点在矩阵所对应的变换作用下变成点，故点，，，……2分明显四边形为平行四边形，故要使得为菱形，只需，即，由，解得……4分;（Ⅱ）由，故.……7分.
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
解析：（I）x2+y2=6x …3分（Ⅱ）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线C的方程为.…………7分
（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）由柯西不等式得，
所以. 当且仅当，即时，等号成立…3分.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又不等式恒成立，所以，解得或.故的取值范围为……7分