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高考小题综合练
高考小题综合练(一)
(推举时间：40分钟)
1．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋2＝0}，若B⊆A，则实数a的全部可能取值的集合为( )
A．{－2} B．{2}
C．{－2,2} D．{－2,0,2}
答案 D
解析 当a＝0时，B＝∅⊆A，合乎题意；当a≠0时，B＝{x|ax＋2＝0}＝，∵B⊆A，
∴－＝1或－＝－1，解得a＝±2，综上所述，实数a的全部可能取值的集合为{－2,0,2}．
2．(2022·上海)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2，且b>2”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
答案 B
解析 明显，a＋b>4，无法推出a>2且b>2，∴不是充分条件，若a>2且b>2，则a＋b>4成立，∴是必要条件，∴必要不充分条件，所以选B.
3．i是虚数单位，则的模为( )
A. B.
C. D．2
答案 B
解析 ＝＝－i，故其模为.
4．将函数f(x)＝cos(π＋x)(cos x－2sin x)＋sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )
A．最大值为，图象关于直线x＝对称
B．周期为π，图象关于(，0)对称
C．在(－，0)上单调递增，为偶函数
D．在(0，)上单调递增，为奇函数
答案 D
解析 f(x)＝－cos x(cos x－2sin x)＋sin2x
＝2sin xcos x－(cos2x－sin2x)
＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)，
所以g(x)＝sin[2(x＋)－]＝sin 2x.
结合正弦函数的性质，可知D正确．
5．已知各项不为零的等差数列{an}的前n项和为S n．若m∈N*，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝( )
A．10 B．20
C．30 D．40
答案 A
解析 am－1＋am＋1＝2am，得2am－a＝0，
又am≠0，所以am＝2，
则S2m－1＝＝(2m－1)am＝2(2m－1)＝38，所以m＝10.
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕BC边所在直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A.π B.π
C.π D.π
答案 D
解析 如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD与圆锥BD的体积之差，由已知求得BD＝1.所以V＝V圆锥CD－V圆锥BD＝×π×3×－×π×3×1＝π.
7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 可以设切点为(x0，x＋1)，由y′＝2x，
∴切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x＋1，
∵已知双曲线的渐近线为y＝±x，
∴∴x0＝±1，
∴＝2，
∴e＝＝ ＝ ＝ ＝.
8．(2022·辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为大事A，则P(A)＝＝＝.
9．(2022·湖南)执行如图所示的程序框图，假如输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4,5] D．[－3,6]
答案 D
解析 由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2,6]．因此输出S的值属于[－3,6]．
10．某班级有50名同学，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成果，五名男生的成果分别为86,94,88,92,90，五名女生的成果分别为88,93,93,88,93.下列说法确定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成果的方差大于这五名女生成果的方差
D．该班男生成果的平均数大于该班女生成果的平均数
答案 C
解析 男＝(86＋94＋88＋92＋90)＝90，
女＝(88＋93＋93＋88＋93)＝91，
s2男＝[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，
s2女＝[(88－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2＋(93－91)2]＝6.
11．(2022·浙江)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
答案
解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，
那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．
其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，2种，
所以P(A)＝＝.
12．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案 6
解析 由于△ABF为等边三角形，
所以由题意知B，
代入方程－＝1得p＝6.
13．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则f()，f(2)，f(3)从小到大的关系是________．
答案 f(3)<f()<f(2)
解析 由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.由于函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称；依据③可知函数f(x)在[0,1]上
为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1,2]上为增函数．
由于f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1,2]上，1<<2，所以f(1)<f()<f(2)，即f(3)<f()<f(2)．
14．在△ABC中，已知D是边AB上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
答案
解析 由于＝2，所以＝，
又＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.
15．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，依据图中的数据可得此几何体的体积为_________________．
答案 ＋
解析 据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四周体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA，BC，BP两两垂直，且BA＝BC＝BP＝1，∴(半)球的直径长为AC＝，∴该几何体的体积为
V＝V半球＋VP－ABC＝×π()3＋××BA·BC·PB＝＋.
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