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遵义四中2022-2021年度第一学期半期考试
高二数学
出题人：王贵兰
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）
1. 在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2. 直线与直线垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
4.在正方体中，下列几种说法正确的是
A、 B、 C、与成角 D、与成角
5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6. 下列四个命题中错误的是（ ）
A．若直线、相互平行，则直线、确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不行能垂直于同一个平面
7. 关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8. 直线截圆得到的弦长为（ ）
主视图
左视图
俯视图
A． B． C． D．
9. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均
为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边
长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
11.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M， N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B．－1 C．6－2 D．
12.过直线y＝2x上一点P作圆M： (x－3)2＋(y－2)2＝的两条切线l1，l2，A，B为
切点，当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，则∠APB等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 点到直线的距离为_______.
14. 经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为
．
15. 圆和圆的位置关系是________.
16. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形； ②； ③三棱锥的体积是.其中正确命题的序号是_________.（写出全部正确命题的序号）
三、解答题：（共6小题，共70分）
17.（本小题满分10分）如图，在中，点C（1，3）．
（1）求OC所在直线的方程；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
18.（本小题满分12分）已知直线经过两点，.
（1）求直线的方程；
（2）圆的圆心在直线上，并且与轴相切于点，求圆的方程.
19. （本小题满分12分）
A1
C1
B1
A
B
C
D
如图，在直三棱柱中，，点是的中点.
求证：（1）；（2）平面.
20. （本小题满分12分）已知中∠ACB=90°，AS=BC=1，AC=2，SA⊥面ABC，
AD⊥SC于D，
（1）求证： AD⊥面SBC；
（2）求二面角A-SB-C的正弦值.
21.（本小题满分12分）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.
（1）求的顶点、的坐标；
（2）若圆经过不同的三点、、，且斜率为的直线与圆相切于点，求
圆的方程.
22.(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交
于A、B两点．
(1)是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若
不存在，说明理由；
(2)当直线l平行移动时，求△CAB面积的最大值．
遵义四中2022-2021年度第一学期半期考试高二数学答案
一、选择题：（共10小题，每小题5分）
1. A; 2. C; 3. D; 4.D ; 5. B; 6.C; 7. D; 8. B ; 9. A; 10. D . 11.A
12.C
二、填空题：（共4小题，每小题5分）
13. ; 14.4x－y－2＝0或x＝1; 15.相交; 16.①②.
三、解答题：
17. 解: (1) 点O（0，0），点C（1，3），
OC所在直线的斜率为.
（2）在中，,
CD⊥AB， CD⊥OC.
CD所在直线的斜率为.
CD所在直线方程为.
18、解：（1）由已知，直线的斜率，
所以，直线的方程为.
（2）由于圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，
由于圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
所以，
所以圆心坐标为，半径为1，
所以，圆的方程为.
19. 证明：（1）在直三棱柱中，平面，
所以，，
又，，
所以，平面，
所以，.
（2）设与的交点为，连结，
为平行四边形，所以为中点，又是的中点，
所以是三角形的中位线，，
又由于平面，平面，所以平面.
20.（1） 证明：
又面
又AC∩SA=A, 面 …………2分
∵ AD平面SAC， ……………4分
又面 ………6分
（2）由（1）AD⊥面SBC，过D作DE⊥BS交BS于E，连结AE，则∠AED为
二面角A-SB-C的平面角，………8分，
由AS=BC=1，AC=2，得AD=，………….10分
在直角△ADE中，，即二面角A-SB-C的大小为………12分.
21、解：（1）边上的高所在直线的方程为，所以，，
又，所以，，
设，则的中点，代入方程，
解得，所以.
（2）由，可得，圆的弦的中垂线方程为，
留意到也是圆的弦，所以，圆心在直线上，
设圆心坐标为，
由于圆心在直线上，所以…………①，
又由于斜率为的直线与圆相切于点，所以，
即，整理得…………②，
由①②解得，，
所以，，半径，
所以所求圆方程为。
22. (1)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因此直线AB的圆过圆点O，
所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.
x2＋y2－2x＋4y－4＝0(y＝x＋m，)
消去y得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0.
Δ＞0得－3－3＜m＜3－3.
由根与系数关系得：
x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝2(m2＋4m－4)，
y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.
∴x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.
解得m＝1或－4.
直线l方程为y＝x＋1或y＝x－4.
(2)设圆心C到直线l：y＝x＋m的距离为d，
|AB|＝2，
S△CAB＝2(1)×2×d＝＝)2(9)≤2(9)，此时d＝2(2)，l的方程为y＝x或y＝x－6.
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