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规范练(二) 数 列
1．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－p，其中p是不为零的常数．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)当p＝3时，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an(n∈N*)，b1＝2，求数列{bn}的通项公式．
(1)证明 由于Sn＝4an－p(n∈N*)，则Sn－1＝4an－1－p(n∈N*，n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1.
由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝.
所以{an}是首项为，公比为的等比数列．
(2)解 当p＝3时，由(1)知，则an＝()n－1，
由bn＋1＝an＋bn(n＝1,2，…)，得bn＋1－bn＝()n－1，当n≥2时，
可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝2＋＝3()n－1－1，
当n＝1时，上式也成立．
∴数列{bn}的通项公式为bn＝3()n－1－1(n∈N*)．
2．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)设数列{an}的公差为d，由a1＝2和a2，a3，a4＋1成等比数列，得
(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1.
当d＝－1时，a3＝0与a2，a3，a4＋1成等比数列冲突，舍去．
所以d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，即数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)bn＝＝＝＝－.
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，bn＝log24an.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，解得a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，则＝2，数列{an}为以1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n－1；bn＝log24an＝log24×2n－1＝
log22n＋1＝n＋1；
(2)由(1)可知anbn＝(n＋1)2n－1，
Tn＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋(n＋1)×2n－1，
2Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，
上面两式相减：－Tn＝2＋21＋22＋23＋…＋2n－1－(n＋1)×2n＝－n×2n，
∴Tn＝n·2n.
4．已知n∈N*，数列{dn}满足dn＝，数列{an}满足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；数列{bn}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2－20x＋64＝0的两个不相等的实根．
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2)将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第an项，……删去后剩余的项按从小到大的挨次排成新数列{cn}，求数列{cn}的前2 015项和．
解 (1)∵dn＝，
∴an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝＝3n，
由于b2，b4为方程x2－20x＋64＝0的两个不相等的实数根．
所以b2＋b4＝20，b2·b4＝64，
解得：b2＝4，b4＝16，所以：bn＝2n.
(2)由题知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{cn}中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4，公比均是8，
T2021＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2021)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c 2022)
＝＋＝.
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