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课时跟踪训练
1．已知tan α＝－，则sin 2α－2 cos2α－1＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－2
解析：sin 2α－2cos2 α－1＝2sin αcos α－2 cos2α－(sin2 α＋cos2 α)＝＝＝－.
答案：A
2．(2022年全国大纲卷)设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：∵b＝sin 35°，∴b＞a；∵b－c＝cos 55°－＝＝＝＜0，
∴b＜c，∴c＞b＞a，故选C.
答案：C
3．(2022年开封模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2 B＝( )
A．－ B.
C．－1 D．1
解析：由acos A＝bsin B得，sin A·cos A＝sin B·sin B，即sin A·cos A＝sin2B，∴sin A·cos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案：D
4．(2022年昆明模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
解析：由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝B＝，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
答案：B
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S表示△ABC的面积，若acos B＋bcos A＝csin C，S＝(b2＋c2－a2)，则角B等于( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin Csin C，即sin(B＋A)＝sin Csin C，由于sin(B＋A)＝sin C，所以sin C＝1，C＝90°.依据三角形面积公式和余弦定理得，S＝bcsin A，b2＋c2－a2＝2bccos A，代入已知得bcsin A＝·2bccos A，所以tan A＝1，A＝45°，因此B＝45°.
答案：C
6．(2022年洛阳模拟)已知2sin α＋cos α＝，则tan 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：∵(2sin α＋cos α)2＝3sin2 α＋2sin 2α＋1＝，∴－cos 2α＋2sin 2α＝，tan 2α＝.
答案：A
7．(2022年江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.
C. D．3
解析：由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6①.由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab ②.所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝absin＝×6×＝.
答案：C
8．在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中确定成立的是( )
A．B＞30° B．A＝2B
C．c＜b D．S≤b2
解析：由三角形的面积公式知S＝absin C＝2b·bsin C＝b2sin C，由于0＜sin C≤1，所以b2sin C≤b2，即S≤b2，故选D.
答案：D
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝( )
A．4 B.
C．3 D.
解析：由于A＋B＋C＝π，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝，即cos C＝－，所以cos C＝－＝＝，解得c＝.
答案：D
10．如图所示，在坡度确定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )
A. B．2－
C.－1 D.
解析：在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50(－)m.在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1，所以cos θ＝sin∠BDC＝－1.
答案：C
11．已知角α，β，γ构成公差为的等差数列．若cos β＝－，则cos α＋cos γ＝________.
解析：由α，β，γ构成公差为的等差数列，可得α＝β－，γ＝β＋，cos α＋cos γ＝cos＋cos＝2cos βcos＝－.
答案：－
12．(2022年广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.
解析：由已知及余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，则＝2.
答案：2
13．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
解析：由于tan A＝，0°＜A＜180°，∴sin A＝，依据正弦定理，得＝，∴AB＝.
答案：
14．(2022年沈阳模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝－，则角A的大小为________．
解析：依题意得(b＋2c)cos A＝－acos B，(sin B＋2sin C)cos A＝－sin Acos B，即sin Acos B＋cos Asin B＝－2sin Ccos A，sin(A＋B)＝sin C＝－2sin Ccos A，cos A＝－.又0＜A＜π，因此A＝.
答案：
15．某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的大路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.
解析：如图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，∴BS＝＝3.
答案：3
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