陕西省西安市第一中学2022届高三上学期期中考试数学(理)试题-Word版含答案.docx

西安市第一中学
2021-2022学年度第一学期期中
高三数学(理科)试题
命题人：袁芹芹
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 设为虚数单位，复数为纯虚数，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．0
2.已知全集为R，集合M=,集合N=,则 （ ）
A．（3,5） B. [3,5） C.（1,3） D.(1,3 ]
3.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）.
A．150 B．300 C．400 D．200
5. 下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ）
①若pq为真命题，则pq为真命题。
②“x>5”是“x-4x-5>0”的充分不必要条件。
③命题P：x∈Ｒ，使得x＋x-1<0， 则p:x∈Ｒ，使得x＋ x-1≥0。
④命题“若x-3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则x-3x+20
A．1 B.2 C . 3 D. 4
6. 函数y=lncosx的图象是（ ）

7. 由直线,曲线及x轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
侧视图
4
2
1
俯视图

2
正视图
第8题图
A． B． C． D．
8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
9．函数（其中）的图象如图所示,为了得到g（x）=sin3x的图象,只需将f（x）的图象（ ）
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
10．一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，登记颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为 （ ）
A. B. C. D.
11.在中,角所对的边分别为表示的面积，若，，则= （ ）
A． B． C． D．
12. 设函数，若不等式≤0有解．则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若是两个不共线的单位向量，若与垂直，则实数= ．
14．若满足约束条件，则的最大值为 .
15. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中△为等边三角形，平面，,则该球的体积 ．
16. 已知函数是上的奇函数，且为偶函数．若，则______．
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分12分) 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前n项和．
18．(本小题满分12分) 在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规章如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最终还从这4人中随机抽取1人获奖400元。
（1）求甲和乙都不获奖的概率；
（2）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和数学期望.
19. (本小题满分12分) 如图，三棱柱中，⊥面， ,,,为的中点.
（1）求证： 面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点.当时,求的取值范围.
21.（本小题满分12分）设函数，其中.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若，成立，求的取值范围.
请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22.(选修4—1几何证明选讲) （本小题满分10分）
如图，过圆外一点P的直线交圆O于A、B两点,PE是圆的切线，CP平分∠，分别与AE、BE交于点.
求证：(1) ； （2）
23.(选修4─4坐标系与参数方程选讲) （本小题满分10分）
已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的一般方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．
24.(选修4—5不等式选讲)（本小题满分10分）
设函数
（1）求不等式的解集；
（2）若的定义域为R,求实数的取值范围.
西安市第一中学
2021-2022学年度第一学期期中考试高三理科数学答案
一、选择题
1-6.ADABBA 7-12. ACCABD
二、填空题
13. 1 14.3 15. 16. 1
三、解答题
17解：（1）设的公差为，的公比为，由，得，
从而，因此， 3分
又，
， ，故， 6分
（2）
令
则 9分
两式相减得
，故 12分
18. 解：（1）设“甲和乙都不获奖”为大事A , 1分
则P（A）=，
答：甲和乙都不获奖的概率为. 5分
（2）X的全部可能的取值为0，400，600，1000， 6分
P(X=0)=, P(X=400)= , P(X=600)= ,
P(X=1000)= , 10分
∴X的分布列为
X
0
400
600
1000
P

11分
12分
19.解: （1）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系，………1分
则C1（0，0，0），B（0，3，2），B1（0，0，2），
C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0），
设是面BDC1的一个法向量，则
即，
取.
又,所以,即
∵AB1面BDC1，∴AB1//面BDC1． 6分
（2）易知是面ABC的一个法向量.
. 11分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为. 12分
20.解：（1），右焦点坐标，则，
得或（舍去）
则，椭圆方程： 5分
（2）

由，得 7分
由，则中点有，
，
>1，得,
则，得： 10分
综上可得,即为所求 12分
21.解：（1）当时，，
1分

在和上单调增，在上单调减 3分
4分
（2）设函数，，都有成立.
即
当时，恒成立；
当时，，；
当时，，；由均有成立。
故当时，，，则只需；
当时，，则需，即.
综上可知对于，都有成立，只需即可，
故所求的取值范围是.12分

另解：设函数，，要使，
都有成立，只需函数在上单调递增即可，
于是只需，成立，
当时，令，，
则；当时；当，，
令，关于单调递增，则，
则,于是.
又当时，，所以函数在单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，
于是，当时，
此时，不符合题意.
综上所述，的取值范围是 12分
22.证明：（1）是切线，
平分

（2）
相像于
同理，相像于
23. 解：（1）直线的一般方程为：； 2分
曲线的直角坐标方程为： 5分
（2）设点，则

所以的取值范围是 10分
24.解:(1)由 ，，，
解集为： 5分
(2)由的定义域为知;
对任意实数x,有恒成立
由于,所以 10分