2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第8章-第7讲--立体几何中的向量方法(一).docx

第7讲 立体几何中的向量方法（一）
一、选择题
1．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是(　　)
A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)
B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)
C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)
D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)
解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直．
答案　B
2．已知a＝，b＝满足a∥b，则λ等于(　　)．
A. B. C．－ D．－
解析　由＝＝，可知λ＝.
答案　B
3．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是 (　　)．
A. B．(6，－2，－2)
C．(4,2,2) D．(－1,1,4)
解析　设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，全部与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.
答案　D
4．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 (　　)．
A．2 B. C. D．1
解析　连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OH⊥AC1于点H，由于AB＝2，所以AC＝2，又CC1＝2，所以OH＝sin 45°＝1.
答案　D
5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5， λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)．
A. B. C. D.
解析　由题意得c＝ta＋μb
＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴.
答案　D
6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为 (　　)．
A.a B.a C.a D.a
解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且＝，
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)
∴x＝a，y＝，z＝.
得M，
∴||＝ ＝a.
答案　A
二、填空题
7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.
解析　由已知得＝＝，
∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.
答案　－2或
8．在四周体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．
解析　依据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．
∵PA＝PB＝PC，
∴H为△ABC的外心．
又∵△ABC为正三角形，
∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为.
∴PH＝ ＝a.
∴点P到平面ABC的距离为a.
答案　a
9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，假如直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.
解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是s＝±.
答案 ±
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP相互平分，则满足＝λ的实数λ的有____________个．
解析　建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，
∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.
答案　2
三、解答题
11．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
a，b，c.
解　由于a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由于b⊥c，
所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
12．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE.
则N，E(0,0,1)，
A(，，0)，M
∴＝.
＝.
∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝，
∵D(，0,0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)
∴·＝0，∴AM⊥DF.
同理AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.
13．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
(1)证明　如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.
＝，＝(0，a,0)．
∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)解　设G(x,0，z)，则＝，
若使GF⊥平面PCB，则由
·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；
由·＝·(0，－a，a)
＝2＋a＝0，
得z＝0.
∴G点坐标为，即G点为AD的中点．
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
解　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，
P(0,0，h)．
(1)易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)．
由于·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
(2)由题设和(1)知，·分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，
即＝.
由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，
又＝(4,0，－h)，
故＝.
解得h＝.
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，
所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.