1、第7讲 立体几何中的向量方法(一)一、选择题1直线l1,l2相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()As1(1,1,2),s2(2,1,0)Bs1(0,1,1),s2(2,0,0)Cs1(1,1,1),s2(2,2,2)Ds1(1,1,1),s2(2,2,2)解析 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项B中的两个向量垂直答案B2已知a,b满足ab,则等于()A. B. C D解析由,可知.答案B3平面经过三点A(1,0,1),B(1,1,2),C(2,1,0),则下列向量中与平面的法向量不垂直的是 ()A. B(6,2,2)C(4,2,2) D(1,1,4)解析设平面的法向量为n,
2、则n,n,n,全部与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直,故选D.答案D4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB2,CC12,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 ()A2 B. C. D1解析连接AC,交BD于点O,连接EO,过点O作OHAC1于点H,由于AB2,所以AC2,又CC12,所以OHsin 451.答案D5已知a(2,1,3),b(1,4,2),c(7,5, ),若a,b,c三向量共面,则实数等于()A. B. C. D.解析由题意得ctab(2t,t4,3t2),.答案D6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且,N为B1B的
3、中点,则|为 ()A.a B.a C.a D.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N. 设M(x,y,z),点M在AC1上且,(xa,y,z)(x,ay,az)xa,y,z.得M,| a.答案A二、填空题7若向量a(1,2),b(2,1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则_.解析由已知得,83(6),解得2或.答案2或8在四周体PABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PAPBPCa,则点P到平面ABC的距离为_解析依据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)过点
4、P作PH平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC,H为ABC的外心又ABC为正三角形,H为ABC的重心,可得H点的坐标为.PH a.点P到平面ABC的距离为a.答案a9平面的一个法向量n(0,1,1),假如直线l平面,则直线l的单位方向向量是s_.解析 直线l的方向向量平行于平面的法向量,故直线l的单位方向向量是s.答案 10在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP相互平分,则满足的实数的有_个解析建立如图的坐标系,设
5、正方体的边长为2,则P(x,y,2),O(1,1,0),OP的中点坐标为,又知D1(0,0,2),Q(x1,y1,0),而Q在MN上,xQyQ3,xy1,即点P坐标满足xy1.有2个符合题意的点P,即对应有2个.答案2三、解答题11已知:a(x,4,1),b(2,y,1),c(3,2,z),ab,bc,求:a,b,c.解由于ab,所以,解得x2,y4,这时a(2,4,1),b(2,4,1)又由于bc,所以bc0,即68z0,解得z2,于是c(3,2,2) 12如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直,AB,AF1,M是线段EF的中点求证:(1)AM平面BDE;(2)AM平面
6、BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设ACBDN,连接NE.则N,E(0,0,1),A(,0),M.且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE,AM平面BDE,AM平面BDE.(2)由(1)知,D(,0,0),F(,1),(0,1)0,AMDF.同理AMBF.又DFBFF,AM平面BDF.13在四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PDDC,E、F分别是AB、PB的中点(1)求证:EFCD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF平面PCB,并证明你的结论(1)证明如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系,设ADa,则D(0,0,
7、0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E、P(0,0,a)、F.,(0,a,0)0,即EFCD.(2)解设G(x,0,z),则,若使GF平面PCB,则由(a,0,0)a0,得x;由(0,a,a)2a0,得z0.G点坐标为,即G点为AD的中点14如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AB4,BC3,AD5,DABABC90,E是CD的中点(1)证明:CD平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥PABCD的体积解如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系设PAh,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h)(1)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,h)由于8800,0,所以CDAE,CDAP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD平面PAE.(2)由题设和(1)知,分别是平面PAE,平面ABCD的法向量而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以|cos,|cos,|,即.由(1)知,(4,2,0),(0,0,h),又(4,0,h),故.解得h.又梯形ABCD的面积为S(53)416,所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.