2022高考总复习(人教A版)高中数学-第八章-平面解析几何-第7讲-抛物线.docx

第7讲抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0 xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0做一做1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy24xCy28x Dy24x解析：选C.由抛物线准线方程为x2知p4，且开口向右，故抛物线方程为y28x.2抛物线y28x的焦点坐标是()A(2，0) B(2，0)C(4，0) D(4，0)答案：B1辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线(2)抛物线标准方程中参数p易忽视只有p0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义2与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切做一做3(2022高考课标全国卷)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A4B2C1 D8解析：选C.如图，F，过A作AA准线l，|AF|AA|，x0x0x0，x01.4动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案：y24x_抛物线的定义及其应用_(1)(2022高考课标全国卷)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A.B.C3 D2(2)(2021长春市调研)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2C. D3解析(1)4，|4|，.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，|QQ|3，依据抛物线定义可知|QF|QQ|3，故选C.(2)由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点F为(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.答案(1)C(2)B规律方法利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径1.(1)(2021云南省统一检测)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A相离 B相切C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心(2)(2021浙江杭州模拟)已知点P是抛物线y22x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|PM|的最小值是()A. B4C. D5解析：(1)选B.设圆心为M，过点A、B、M作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，则|MM1|(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(2)选C.抛物线焦点F(，0)，准线x，如图，延长PM交准线于N，由抛物线定义得|PF|PN|，|PA|PM|MN|PA|PN|PA|PF|AF|5，而|MN|，|PA|PM|5，当且仅当A，P，F三点共线时，取“”号，此时，点P位于抛物线上，|PA|PM|的最小值为._抛物线的标准方程及性质(高频考点)_抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式毁灭，个别高考题有确定难度，高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线方程；(2)由已知求参数p；(3)与其它学问交汇求解综合问题(1)(2021昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线方程为()Ay26x By28xCy216x Dy2x(2)(2021山东德州模拟)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B.C2 D3解析(1)依题意，设M(x，y)，|OF|，所以|MF|2p，x2p，x，yp，又MFO的面积为4，所以p4，解得p4，所以抛物线方程为y28x.(2)双曲线的渐近线方程为yx，由于双曲线的离心率为2，所以 2，.由解得或由曲线的对称性及AOB的面积得，2，解得p2，p(p舍去)故选B.答案(1)B(2)B规律方法(1)求抛物线的标准方程的方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量(2)确定及应用抛物线性质的技巧：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解2.(1)(2021高考课标全国卷)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x(2)抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程解析：(1)选C.设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N.由y22px，F，N点的坐标为.由抛物线的定义知，x05，x05.y0 .|AN|，|AN|2.即. 20.整理得p210p160.解得p2或p8.抛物线方程为y24x或y216x.(2)解：由题意，设抛物线方程为x22ay(a0)设公共弦MN交y轴于A，则|MA|AN|，且AN.|ON|3，|OA|2，N(，2)N点在抛物线上，52a(2)，即2a，故抛物线的方程为x2y或x2y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y._直线与抛物线的位置关系_(1)(2022高考辽宁卷)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B.C. D.(2)(2022高考四川卷)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.解析(1)抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2，3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2，0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x，得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.由于切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为.(2)设直线AB的方程为xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，x1x2y1y22.又yx1，yx2，y1y22.联立得y2nym0，y1y2m2，m2，即点M(2，0)又SABOSAMOSBMO|OM|y1|OM|y2|y1y2，SAFO|OF|y1|y1，SABOSAFOy1y2y1y123，当且仅当y1时，等号成立答案(1)D(2)B规律方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必需用一般弦长公式(3)争辩直线与抛物线的位置关系与争辩直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要留意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的机敏应用3.已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由得y22y2t0.由于直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t1.由于1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.考题溯源抛物线方程的应用(2022高考陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_m. 解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py，得p1.x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y，得x6，x0.水面宽|CD|2 m.答案2考题溯源本考题就是教材人教A版选修21 P74习题A组T8原题某大桥在涨水时有最大跨度的中心桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中心船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔，为什么？解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为yax2，由题意知点A(10，2)在抛物线上，代入方程求解，得a，方程即为yx2.让船沿正中心航行，船宽16米，而当x8时，y821.28，此时抛物线上的点B距离水面1.2864.72(米)，又船体水面以上高度为5米，所以无法通过；又54.720.28(米)，0.280.047，15071 050吨，故至少应再装1 050吨货物才能通过，而现在只能多装1 000吨，故无法通过，只能等到水位下降. 1已知m，n，mn成等差数列，m，n，mn成等比数列，则抛物线mx2ny的焦点坐标是()A(0，)B(，0)C(0，) D(，0)解析：选A.由题意知，2nmmn且n2mmn，解得m2，n4，故抛物线为x22y，其焦点坐标为(0，)2已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x解析：选D.由于双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.3(2022高考课标全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A. B6C12 D7解析：选C.F为抛物线C：y23x的焦点，F，AB的方程为y0tan 30，即yx.联立得x2x0.x1x2，即xAxB.由于|AB|xAxBp，所以|AB|12.4已知点A(2，0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2 B12C1 D13解析：选C.直线FA：yx1，与x24y联立，得xM1，直线FA：yx1，与y1联立，得N(4，1)，由三角形相像知.5(2021衡水中学调研)已知等边ABF的顶点F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且ABl，则点A的位置()A在C1开口内 B在C1上C在C1开口外 D与p值有关解析：选B.设B(，m)，由已知有AB中点的横坐标为，则A(，m)，ABF是边长|AB|2p的等边三角形，即|AF|2p，p2m24p2，mp，A(，p)，代入y22px中，得点A在抛物线上，故选B.6(2021四川资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(4，2)的抛物线方程是_解析：设抛物线方程为x2my，将点P(4，2)代入x2my，得m8.所以抛物线方程是x28y.答案：x28y7(2021厦门质检)已知点P在抛物线y24x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y24x的准线方程为x1，依据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故，解得xP1，y4，|yP|2.答案：28. (2021兰州市、张掖市联考)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即点F是AC的中点，依据题意得p，抛物线的方程是y23x.答案：y23x9抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p2c.设抛物线方程为y24cx，抛物线过点(，)，64c，c1，故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点(，)，1.又a2b2c21，1.a2或a29(舍去)b2，故双曲线方程为4x21.10已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2.抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又F(1，0)，kFA，MNFA，kMN.又FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，N的坐标为.1(2021河南郑州模拟)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx2Cx1 Dx2解析：选C.由题意可设直线方程为y(x)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程整理得y22pyp20，y1y22p.线段AB的中点的纵坐标为2，2.p2.抛物线的准线方程为x1.2(2021江西上饶模拟)过抛物线x24y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且ABCD，则的最大值等于()A4 B16C4 D8解析：选B.依题意可得，(|)又由于|yA1，|yB1，所以(yAyByAyB1)设直线AB的方程为ykx1(k0)，联立x24y，可得x24kx40，所以xAxB4k，xAxB4.所以yAyB1，yAyB4k22.所以(4k24)同理(4)所以(4k28)16.当且仅当k1时等号成立3(2021山西省忻州市联考)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_解析：由题意知，圆x2(y4)21的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0)，依据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|PF|PC|PF|1|CF|11.答案：14已知抛物线x22y，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：由x22y，得yx2，yx.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，抛物线在P，Q两点处的切线的斜率分别为x1，x2，过点P的抛物线的切线方程为yy1x1(xx1)，又x2y1，切线方程为yx1x，同理可得过点Q的切线方程为yx2x，两切线方程联立解得.又抛物线焦点F的坐标为(0，)，易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为ymx，由，得x22mx10，所以x1x21，所以yA.答案：5(2021厦门模拟) 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1，2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1.6(选做题)(2021吉林长春调研)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值解：(1)由题可知F(，0)，则该直线方程为yx，代入y22px(p0)，得x23px0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x23p.|MN|8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，抛物线的方程为y24x.(2)设直线l的方程为yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20.l为抛物线C的切线，0，解得b1.l的方程为yx1.设P(m，m1)，则(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.由(1)可知：x1x26，x1x21，(y1y2)216x1x216，y1y24.yy4(x1x2)，y1y244，16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714，当且仅当m2，即点P的坐标为(2，3)时，的最小值为14.