资源描述
2022-2021学年度其次学期高二期末调研测试
数 学 （理科）试 题Ⅰ
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
2021．6
留意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．命题：“，”的否定是 ▲ ．
3．已知复数（为虚数单位），则 ▲ ．
4．“”是“”的 ▲ 条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）
5．正弦曲线在处的切线的斜率为 ▲ ．
6．方程的解为 ▲ ．
7．四位外宾参观某校，需配备两名安保人员．六人依次进入校门，为平安起见，首尾确定是两名安保人员，则六人的入门挨次共有 ▲ 种不同的支配方案（用数字作答）．
8．若函数为定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，则不等式的解集为 ▲ ．
9．设数列满足，，，通过计算，，，试归纳出这个数列的通项公式 ▲ ．
10．将函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数图象,对于函数有以下四个推断：
①该函数的解析式为；
②该函数图象关于点对称；
③该函数在上是增函数；
④若函数在上的最小值为,则．
其中，正确推断的序号是 ▲ ．（写出全部正确推断的序号）
11．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足关系，则
▲ ．（从“”，“”，“” 中，选出适当的一种填空）
12．已知，若，，则的值为
▲ ．
13．已知函数．若存在，，当时，，则的取值范围是 ▲ ．
14．若实数，满足，其中为自然对数的底数，则的值为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知：，，且．
求： （1）的值；
（2）角的大小．
16．（本小题满分14分）
设命题：函数的定义域为R；命题：函数在上单调递减．
（1）若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式的解集为M；命题为真命题时，的取值集合为N．当时，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域；
（3）当时，设经过函数图象上任意不同两点的直线的斜率为，试推断值的符号，并证明你的结论．
18．（本小题满分15分）
如图，折叠矩形纸片ABCD，使A点落在边BC上的E处，折痕的两端点、分别在线段和上（不与端点重合）．已知，，设．
（1） 用表示线段的长度，并求出的取值范围；
（2）试问折痕的长度是否存在最小值，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
（第18题图）
19．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）若，求函数的解析式，并写出的定义域；
（2）记．
①若在上的最小值为1，求实数的值；
②若，，为图象上的三点，且满足，，成等差数列的实数有且只有两个不同的值，求实数的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）求函数的微小值；
（2）设函数，争辩函数在上的零点的个数；
（3）若存在实数，使得对任意，不等式恒成立，求正整数的最大值．
2022-2021学年度其次学期高二期末调研测试
数 学 （理科）试 题Ⅱ
（全卷满分40分，考试时间30分钟）
2021．6
21．（本小题满分10分）
已知开放式中各项的二项式系数和为64．
（1）求的值；
（2）求开放式中的常数项．
22．（本小题满分10分）
我市某商场为庆祝“城庆2500周年”进行抽奖活动．已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为．
（1）若取球过程是无放回的，求大事“”的概率；
（2）若取球过程是有放回的，求的概率分布列及数学期望．
23．（本小题满分10分）
如图，正四棱柱中，．
（1）点为棱上一动点，求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
（第23题图）
24．（本小题满分10分）
设为下述正整数的个数：的各位数字之和为，且每位数字只能取1，3或4．
（1）求，，，的值；
（2）对，摸索究与的大小关系，并加以证明．
2021年6月高二期末调研测试
理 科 数 学 试 题 参 考 答 案
一、填空题：
1． 2．， 3． 4．充分不必要 5．
6．4或5 7．48 8． 9． 10．②④
11． 12． 13． 14．
二、解答题：
15．解：（1）∵， ∴， …………3分
∴ …………7分
（2）∵且 ∴ 且 ……9分
∴（求出也可）…………12分
∵ ∴． …………14分
16．解：（1）若真：即函数的定义域为R
∴对恒成立 ∴，解得：； …………2分
若真，则 …………2分
∵命题“”为真，“”为假 ∴真假或假真
∵或，解得：或． …………7分
（2）∵ ∴ …………9分
∵
∴，解得：． …………14分
17．解：
（或） …………4分
（1）； …………6分
（2）∵时，∴，则
∴的值域为 …………10分
（3）值的符号为负号；
∵，∴，
∴在上是减函数． …………12分
∴当，且时，都有，从而经过任意两点和的直线的斜率． …………15分
18．解：（1）设，由图形的对称性可知：，，
∵ ∴ ，整理得： …………3分
∵ 又∵，即，
∴，，解得： …………6分
（2）在中， ，…………8分
令，∴， 设…………10分
∴，令，则或（舍），
列表得：
0
增
极大值
减
∴ ∴当时，有最小值为．
（直接对求导或直接争辩函数皆可）
答：当时，存在最小值为． …………15分
19．解：（1）令，，则且
∵ ∴ ∴，定义域为；…………4分
（2）
①在∴函数在上单调减，在 上单调增； …………6分
（Ⅰ）当，即时，当时，，∴（舍）
（Ⅱ）当，即时，当时，（舍）
（Ⅲ）当，即时，当时， ∴
∴综上：；（不舍扣2分） …………10分
②∵，，成等差数列 ∴，即
化简得： （*） …………13分
∵满足条件的实数有且只有两个不同的值
∴（*）在上有两个不等实根，设
∴，解得：． …………16分
20．证：（1），
则，
令，得；令，得或（或列表求）
∴函数在单调减，在（1,6）单调增，在上单调减，
∴函数在处取得微小值； …………3分
（2），
∵ ∴， …………5分
设，则，令，则
∴在上单调减，在上单调增，且，， ，
∴当或时，有1解，即在上的零点的个数为1个；
当时，有2解，即在上的零点的个数为2个；
当时，有0解，即在上的零点的个数为0个．
…………8分
（3）∵ ，存在实数，使对任意的，不等式恒成立，∴存在实数，使对任意的，不等式恒成立
∵ ∴对任意的，不等式恒成立 …………10分
解法（一）：设，
∴，设，
∴在上恒成立 ∴在上单调减
而，，
∴，使得，当时，，当时，
∴在上单调增，在上单调减
∵，，，，
且，（若不交代函数的单调性，扣4分）
∴正整数的最大值为4． …………16分
解法（二）：即对任意的，不等式恒成立．
设，，
∴，可求得在上单调增，在上单调减，在上单调增，
则上单调减，在上单调增
当时， 恒成立；
当时， ，， ，而；
∴正整数的最大值为4． …………16分
21．解：（1） ∴； …………4分
（2）， …………7分
当，即时，为常数项． …………10分
22．（1）； …………4分
（2）随机变量的可能取值为：0,1,2,3
∴
0
1
2
3
…………8分
答：数学期望为． …………10分
23．解：（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则D（0，0，0），A（1，0，0），
B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），
A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．
（1）设，则，
则 ∴ …………4分
（2）
（第23题图）
设平面的一个法向量
∴，令，则∴， …………7分
设与面所成角的大小为，，
∴，
所以与平面所成角的正弦值为． …………10分
24．解：（1），则，∴；，则，∴；
，则或，∴；
，则，，，，∴；
综上：，，， …………2分
（2）由（1）猜想：； …………3分
记，其中，，…，且
假定，删去，则当依次取1，3，4时，分别等于，，．
故当时，． …………5分
先用数学归纳法证明下式成立：
①时，由（1）得：，结论成立；
②假设时，；
当时，
∴时，结论成立；
综合①②，，． …………8分
再用数学数学归纳法证明下式成立：
①时，由（1）得：，结论成立；
②假设时，；
当时，
∴时，结论成立；
综合①②，，． …………10分
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