2021高中数学(人教A版)选修2-2课时作业24.docx

课时作业(二十四)
一、选择题
1．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<n(n∈N*且n>1)第一步验证n＝2时，左边计算所得项为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．1＋
C. D．1＋＋
答案　D
解析　当n＝2时，左边最终一项为＝.
2．设f(n)＝＋＋＋…＋，则f(k＋1)－f(k)等于(　　)
A.
B.＋＋
C.＋
D.＋＋＋…＋
答案　D
解析　n＝k时，f(k)＝1＋＋＋…＋.
n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋
.
∴f(k＋1)－f(k)＝＋＋…＋.
3．假如命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立，若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)
A．P(n)对全部正整数n都成立
B．P(n)对全部正偶数n都成立
C．P(n)对全部正奇数n都成立
D．P(n)对全部自然数n都成立
答案　B
4．用数学归纳法证明恒等式
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
由n＝k到n＝k＋1时，两边应同时加上(　　)
A. B．－
C. D.－
答案　D
5．若凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
答案　C
二、填空题
6．设S(n)＝＋＋＋＋…＋，则S(n)有________项，S(2)＝________.
答案　n2－n＋1；
解析　应用等差数列通项公式的变形公式：d＝即得项数；
S(2)＝＋＋＝.
7．用数学归纳法证明3n>n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________．
答案　n＝3时是否成立
解析　n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
8．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
答案　＋＋…＋＋＋>－
解析　观看不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.
三、解答题
9．用数学归纳法证明
(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N*)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即
(1－)(1－)(1－)…(1－)＝.
当n＝k＋1时，
(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)
＝(1－)＝＝.
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．
10．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋52－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
解析　(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－
[2(k＋1)]2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]．
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*，等式成立．
11．已知x>－1，且x≠0，n∈N*，且n≥2.
求证：(1＋x)n>1＋nx.
证明　(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x.
∵x2>0，∴原不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx.
当n＝k＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0.
于是左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2，右边＝1＋(k＋1)x.
∵kx2>0，∴左边>右边，即(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x.
这就是说，当n＝k＋1时原不等式也成立．
依据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数都成立．
12．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)．
求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．
证明　(1)当n＝2时，S2n＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立．
(2)设n＝k时命题成立，即
S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋
>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，故当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)知，对n∈N*，n≥2，S2n>1＋等式都成立．
►重点班·选做题
13．若不等式＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
分析　这是一个探究性问题，先用归纳法探求a的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n，不等式都成立．
解析　当n＝1时，＋＋>，即>，
∴a<26，又a∈N，∴取a＝25，下面用数学归纳法证明：
＋＋…＋>.
(1)当n＝1时，已证．
(2)假设当n＝k时，＋＋…＋>成立．
当n＝k＋1时，有
＋＋…＋＋＋＋

＝＋
>＋＋－.
∵＋－＝>0，
∴＋＋…＋>也成立．
由(1)、(2)可知，对一切正整数n，都有不等式＋＋…＋>成立．
∴a的最大值25.