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D1 数列的概念与简洁表示法
【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】12. 数列中，，则 .
【学问点】数列的递推式.D1
【答案】【解析】 解析：，故答案为。
【思路点拨】由数列的递推式依次计算即可。
【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】20.（13分）已知数列中,且点在直线上。
(1)求数列的通项公式；
(2)若函数求函数的最小值；
(3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得
对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在,试说明理由。
【学问点】已知递推公式求通项；求数列的最小值； 数列综合. D1 D5
【答案】【解析】 (1) (2) (3) 略解析： （1）∵点在直线x-y-1=0上，即，且=1
∴数列是以1为首项1为公差的等差数列.
∴，=1也满足，∴
（2）由（1）知，则
，
∴
∴是的增函数，∴函数的最小值是；
（3）∵，∴
即，
∴，
∴
∴，∴.
故存在关于n的整式使等式对于一切不小于2 的自然数n恒成立.
法二：先由n=2,n=3的状况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明.
【思路点拨】（1）由已知得，数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以；
（2）推断是的增函数即可得结论；（3）构造新的递推式
，然后用累加法求得结论.
【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】18.（本小题满分12分）已知数列的前项和，
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ) 令，求数列的前项和．
【学问点】数列及数列求和 D1,D4
【答案】【解析】(I)(II) 解析：(Ⅰ) 由 ①
可得：．
同时 ②
②-①可得： ．——4分
从而为等比数列，首项，公比为．
． ————————6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，
————8分
故 ．—
【思路点拨】由数列的前n项和公式与通项公式的关系可求出数列的通项公式，再依据数列的特点求出前n项和
【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】21．（本小题12分）设数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．
求证：.
【学问点】数列的通项公式，数列求和 等差数列D1 D2 D4
【答案】【解析】（1），（2）略 解析：（1），（）
· =即()
· 当,得=6
即
（2）①，则，
·
· 设①
· 则②
· ①-②得：2+
=+
·
因此 .
【思路点拨】遇到数列的前n项和与通项构成的递推公式，可先利用前n项和与通项之间的关系转化为项的递推公式进行解答，遇到与n项和有关的不等式，可考虑先求和再证明.
【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】20.（13分）已知数列中,且点在直线上。(1)求数列的通项公式；
(2) 若函数,求函数的最小值；
(3)设表示数列的前项和.试求出关于的整式,使得
对于一切不小于2的自然数恒成立.(不用证明)
【学问点】已知递推公式求通项；求数列的最小值； 数列综合. D1 D5
【答案】【解析】 解析： （1）∵点在直线x-y-1=0上，即，且=1
∴数列是以1为首项1为公差的等差数列.
∴，=1也满足，∴
（2）由（1）知，则
，
∴
∴是的增函数，∴函数的最小值是；
（3）∵，∴
即，
∴，
∴
∴，∴.
故存在关于n的整式使等式对于一切不小于2 的自然数n恒成立.
法二：先由n=2,n=3的状况，猜想出g(n)=n，再用数学归纳法证明.
【思路点拨】（1）由已知得，数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以；
（2）推断是的增函数即可得结论；（3）构造新的递推式
，然后用累加法求得结论.
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