高中数学(北师大版)选修2-3教案：第2章-典例分析：离散型随机变量的应用.docx

离散型随机变量的应用典例分析
离散型随机变量的分布列、期望、方差是概率的自然延长，离散型随机变量的应用题取代了传统意义的应用题，成为新高考的热点问题，这部分试题的综合性强、应用性广，对考生的基础学问、力气要求较高留意阅读力气和运算力气的训练。
例1、一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下法规：凡是情愿摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩状况如下表：
摸5个球
中彩发放奖品
有5个白球
1顶帽子（价值20元）
恰有4个白球
1张贺卡（价值2元）
恰有3个白球
纪念品（极值0.5元）
其它
同乐一次（无任何奖品）
试计算：（1）、摸一次能获得20元奖品吗？
（2）、按摸10000次统计，这个人能否赚钱？假如赚钱。求出净赚多少钱？
分析：在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的期望是否大于0。
解：（1）、摸一次能获得20元奖品的概率是p=
（2）、假如把取到的白球作为随机变量X，则 P(X=5)= P(X=4)= P(X=3)= P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=
所以博彩者的收入这一随机变量（可以为负数）的分布列为：

－19
－1
0.5
1
P

所以收入的随机变量的期望值为：E=(－19)×＋（－1）×＋0.5×＋1×＝0.4318
故这个人可以赚钱，且摸10000净收入的期望为4318元。
点评：本题是随机变量期望的应用问题，解题的关键是正确的设出随机变量，然后求出该随机变量的全部可能的取值，在实际问题中的综合考虑问题的各种情形，如本题中既要考虑到这个人的收入，又要考虑到其支出，因此就一次摸球而言，这个人的收入状况是不确定的，有－19元，－1元，0.5元，1元四种可能。

例2、（2005全国）甲乙两对进行一场排球竞赛，依据已往的阅历，单局竞赛甲对胜乙对的概率为0.6，本场竞赛接受五局三胜制，即先胜三局的队获胜，竞赛结束，设各局竞赛相互之间没有影响，令X为本场竞赛的局数 ，求X的概率分布和数学期望。（精确到0.0001）.
解；单局竞赛甲队胜乙队的概率为0.6,乙对胜甲队的概率为1－0.6＝0.4.
竞赛3局结束的两种状况是：甲队胜3局或乙对胜3局，因而P(X=3)=
竞赛4局结束有两种状况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而P(X=4)=C
竞赛5局结束的有两种状况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲队胜或乙对胜。
因而P(X=5)=C
所以X的概率分布为：
X
3
4
5
P
0.28
0.3744
0.3456
X的期望EX=3×P(X=3)+4×P(X=4)+5×P(X=5)=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=4.0656.
点评：本题以体育竞赛为背景考查了离散型随机变量的分布列与期望等，考查运用概率学问解决实际问题的力气。