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1. 如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
证明 (1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.
∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF＝DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.
又AB＝DE，∴GF＝AB.
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
∵AF平面BCE，BG平面BCE，
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
2．(2022·新课标全国Ⅱ卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
(1)证明 设BD与AC的交点为O，连接EO.
由于ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
由于EO平面AEC，PB⃘平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)解 V＝PA·AB·AD＝AB.
又V＝，可得AB＝.
作AH⊥PB交PB于H.
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC.
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，
所以AH＝＝，
所以A到平面PBC的距离为.
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．
(1)证明：BD⊥EC1；
(2)假如AB＝2，AE＝，OE⊥EC1，求AA1的长．
(1)证明 连接AC，A1C1.由底面是正方形知，BD⊥AC.
由于AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
所以AA1⊥BD.
又AA1∩AC＝A，
所以BD⊥平面AA1C1C.
由于EC1平面AA1C1C知，BD⊥EC1.
(2)解 法一 设AA1的长为h，连接OC1.
在Rt△OAE中，AE＝，AO＝，
故OE2＝()2＋()2＝4.
在Rt△EA1C1中，A1E＝h－，A1C1＝2，
故EC＝(h－)2＋(2)2.
在Rt△OCC1中，OC＝，CC1＝h，OC＝h2＋()2.
由于OE⊥EC1，所以OE2＋EC＝OC，即
4＋(h－)2＋(2)2＝h2＋()2，
解得h＝3，所以AA1的长为3.
法二 ∵OE⊥EC1，∴∠AEO＋∠A1EC1＝90°.
又∵∠A1C1E＋∠A1EC1＝90°，
∴∠AEO＝∠A1C1E.
又∵∠OAE＝∠C1A1E＝90°，
∴△OAE∽EA1C1，
∴＝，即＝，
∴A1E＝2，
∴AA1＝AE＋A1E＝3.
4.(2022·北京海淀区模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．
(1)求证：AB⊥平面AA1C1C；
(2)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；
(3)证明：EF⊥A1C.
(1)证明 ∵A1A⊥底面ABC，
∴A1A⊥AB，
又∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，
∴AB⊥平面AA1C1C.
(2)解 ∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE，
∵在△ABC中E是BC的中点，∴D是线段AC的中点．
(3)证明 在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC，
∴侧面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1，
由(1)可得AB⊥A1C，
∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥平面ABC1，
∴A1C⊥BC1.
又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.
5.(2022·江西卷)如图，在三棱柱
ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，
A1B⊥BB1.
(1)求证：A1C⊥CC1；
(2)若AB＝2，AC＝，BC＝，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值．
(1)证明 由AA1⊥BC知BB1⊥BC，又BB1⊥A1B，且BC平面BCA1，A1B平面BCA1，BC∩A1B＝B，
故BB1⊥平面BCA1，由A1C平面BCA1可得BB1⊥A1C，
又BB1∥CC1，所以A1C⊥CC1.
(2)解 法一 设AA1＝x，在Rt△A1BB1中，A1B＝＝.
同理，A1C＝＝.在△A1BC中，
cos ∠BA1C＝＝－，
sin ∠BA1C＝，
所以S△A1BC＝A1B·A1C·sin ∠BA1C＝.
从而三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△A1BC·AA1＝.
由于x＝＝，故当x＝＝，
即AA1＝时，体积V取到最大值.
法二 如图，过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.
由于AA1⊥BC，A1D⊥BC，故BC⊥平面AA1D，BC⊥AD，又∠BAC＝90°，
所以S△ABC＝AD·BC＝AB·AC，得AD＝.
设AA1＝x，在Rt△AA1D中，
A1D＝＝，
S△A1BC＝A1D·BC＝.
从而三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△A1BC·AA1＝.
由于x＝＝，
故当x＝＝，
即AA1＝时，体积V取到最大值.
6. 如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
(1)求证：FG∥平面PDE；
(2)求证：平面FGH⊥平面ABE；
(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．
(1)证明 由于F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE，又FG平面PDE，PE平面PDE，
所以FG∥平面PDE.
(2)证明 由于EA⊥平面ABCD，
所以EA⊥CB.
又CB⊥AB，AB∩AE＝A，
所以CB⊥平面ABE.
由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，
所以FH∥BC.则FH⊥平面ABE.
而FH平面FGH，
所以平面FGH⊥平面ABE.
(3)解 在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM.
证明如下：
如图，在PC上取一点M，连接EF，EM，FM.在直角三角形AEB中，由于AE＝1，AB＝2，所以BE＝.
在直角梯形EADP中，由于AE＝1，AD＝PD＝2，所以PE＝，所以PE＝BE.又F为PB的中点，所以EF⊥PB.
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM.
由于PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，
又CB⊥CD，PD∩CD＝D，
所以CB⊥平面PCD，而PC平面PCD，所以CB⊥PC.
若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得＝.
由已知可求得PB＝2，PF＝，PC＝2，
所以PM＝.
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