2022届-数学一轮(文科)-北师大版-课时作业-第八章-立体几何-探究课五-.docx

(建议用时：75分钟) 1. 如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.2(2022新课标全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离(1)证明设BD与AC的交点为O，连接EO.由于ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.由于EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解VPAABADAB.又V，可得AB.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC.在RtPAB中，由勾股定理可得PB，所以AH，所以A到平面PBC的距离为.3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点(1)证明：BDEC1；(2)假如AB2，AE，OEEC1，求AA1的长(1)证明连接AC，A1C1.由底面是正方形知，BDAC.由于AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又AA1ACA，所以BD平面AA1C1C.由于EC1平面AA1C1C知，BDEC1.(2)解法一设AA1的长为h，连接OC1.在RtOAE中，AE，AO，故OE2()2()24.在RtEA1C1中，A1Eh，A1C12，故EC(h)2(2)2.在RtOCC1中，OC，CC1h，OCh2()2.由于OEEC1，所以OE2ECOC，即4(h)2(2)2h2()2，解得h3，所以AA1的长为3.法二OEEC1，AEOA1EC190.又A1C1EA1EC190，AEOA1C1E.又OAEC1A1E90，OAEEA1C1，即，A1E2，AA1AEA1E3.4.(2022北京海淀区模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ACAA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点(1)求证：AB平面AA1C1C；(2)若线段AC上的点D满足平面DEF平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(3)证明：EFA1C.(1)证明A1A底面ABC，A1AAB，又ABAC，A1AACA，AB平面AA1C1C.(2)解平面DEF平面ABC1，平面ABC平面DEFDE，平面ABC平面ABC1AB，ABDE，在ABC中E是BC的中点，D是线段AC的中点(3)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAC，侧面A1ACC1是正方形，A1CAC1，由(1)可得ABA1C，ABAC1A，A1C平面ABC1，A1CBC1.又E，F分别为棱BC，CC1的中点，EFBC1，EFA1C.5.(2022江西卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若AB2，AC，BC，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值(1)证明由AA1BC知BB1BC，又BB1A1B，且BC平面BCA1，A1B平面BCA1，BCA1BB，故BB1平面BCA1，由A1C平面BCA1可得BB1A1C，又BB1CC1，所以A1CCC1.(2)解法一设AA1x，在RtA1BB1中，A1B.同理，A1C.在A1BC中，cos BA1C，sin BA1C，所以SA1BCA1BA1Csin BA1C.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VSA1BCAA1.由于x，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.法二如图，过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.由于AA1BC，A1DBC，故BC平面AA1D，BCAD，又BAC90，所以SABCADBCABAC，得AD.设AA1x，在RtAA1D中，A1D，SA1BCA1DBC.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VSA1BCAA1.由于x，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.6. 如图，已知四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，PDEA，ADPD2EA2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点(1)求证：FG平面PDE；(2)求证：平面FGH平面ABE；(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由(1)证明由于F，G分别为PB，BE的中点，所以FGPE，又FG平面PDE，PE平面PDE，所以FG平面PDE.(2)证明由于EA平面ABCD，所以EACB.又CBAB，ABAEA，所以CB平面ABE.由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FHBC.则FH平面ABE.而FH平面FGH，所以平面FGH平面ABE.(3)解在线段PC上存在一点M，使PB平面EFM.证明如下：如图，在PC上取一点M，连接EF，EM，FM.在直角三角形AEB中，由于AE1，AB2，所以BE.在直角梯形EADP中，由于AE1，ADPD2，所以PE，所以PEBE.又F为PB的中点，所以EFPB.要使PB平面EFM，只需使PBFM.由于PD平面ABCD，所以PDCB，又CBCD，PDCDD，所以CB平面PCD，而PC平面PCD，所以CBPC.若PBFM，则PFMPCB，可得.由已知可求得PB2，PF，PC2，所以PM.