第五章-习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数教学文案.doc

第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数

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习题5.1
1. (1) 若A2 = E，证明A的特征值为1或1;
(2) 若A2 = A，证明A的特征值为0或1.
证明（1）
（2）

2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 1.
证明

3．求数量矩阵A=aE的特征值与特征向量.
解

所以：特征值为a(n重), A属于a的特征向量为 k1(1,0,…,0)T + k2(0,1,…,0)T + kn(0,0,…,1)T ，(k1, k2, …, kn不全为0)

4．求下列矩阵的特征值与特征向量.
（1）
（2）
（3）
（4）

解（1）

A属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k0)
A属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T，(k0)

解（2）

将其代入，求得特征向量：
，不全为零

解（3）

代入，求得特征向量：
A属于特征值-1的全部特征向量为k(1,-1,0)T ，(k0)；A属于特征值1的全部特征向量为k(1,-1,1)T ，(k0)；A属于特征值3的全部特征向量为k(0,1,-1)T ，(k0)

解（4）

特征值为-1，-1，-1；A属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1)T ，(k0)

解（5）

设为的任一特征值，的属于的特征向量为：，则
于是
而
故 =0，因为特征向量，所以 ，即矩阵的所有特征值为0.

解得基础解系：

特征值为0（n重）；A属于n重特征值0的全部特征向量为：
k1+ k2+ … + kn－1（ k1，k2，…，kn－1不全为零）

解 (1）
(2）

6. 已知12是矩阵的一个特征值，求a的值.
解

7. 已知X = 是矩阵A = 的一个特征向量.求k及X所对应的特征值.
解

习题5.2
1. 判断习题7.1第4题中各矩阵能否与对角矩阵相似.如果相似，求出相似变换矩阵与对角矩阵.
1）

2）二重根有两个线性无关的特征向量，可以对角化.
相似变换矩阵为
对角阵为
3）矩阵有三个互异的特征值，故可以对角化.
对角阵为
4）不能对角化.
5），所以可以对角化.

2．判断下列矩阵是否与对角阵相似，若相似，求出可逆矩阵P,使为对角阵.
（1） （2）
解 (1)

代入解得对应的特征向量分别为：

所以：可逆矩阵

解 (2)

3．设A是一个3阶矩阵，已知A的特征值为1，1，0，A属于这3个特征值的特征向量分别为

求A.
解 A有三个互异的特征值，所以可以对角化.
4．计算

解

，

5．设

A与B相似.
（1） 求a,b的值；
（2） 求可逆矩阵P,使=B.
解
1）A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即：
（2）

最后解得可逆矩阵使得

6. 设A =与对角阵相似，求x，y满足的条件.
解

由于与对角矩阵相似，

7．设A与B相似，f（x）= a0xn + a1xn―1 + … + an―1x + an（a0 ≠ 0），证明 f（A）与 f（B）相似．
证明

故f（A）与 f（B）相似
8．若A与B相似，C与D相似，证明 与 相似.
证明

习题5.3
1．求正交矩阵Q，使为对角阵.
(1) （2）
解
（1）先求特征值和特征向量

解得特征向量：

于是构成正交矩阵
,

解
（2）先求特征值和特征向量

单位化
于是构成正交矩阵

2．已知 = 6，== 3是实对称矩阵A的三个特征值，A的属于 == 3的特征向量为X2 = ， X3 = ，求A的属于= 6的特征向量及矩阵A ．
解 令的属于的特征向量为：

且A的属于的特征向量为：

解 （1）
的另一特征值为0，令其相应的特征向量为，满足

习题五
(A)
一、填空题
1．已知3阶矩阵A的特征值为1，3，-2，则A-E的特征值为 , 的特征值为
的特征值为 .
解 A-E的特征值为A的特征值减1，故A-E的特征值为0，2，-3.的特征值为
2．n阶矩阵A的特征值为1，2 ，3 ，… ，n ，则 .
解

3. 已知3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则= .
解

4. 设A为3阶方阵，且，则= ， =
，= .
解
由题意知：

5．若3阶方阵A与B相似，A的特征值为，则= .
解

6．已知3阶矩阵A-1的特征值为1，2，3，则的特征值为 .
解

7. 已知矩阵的特征值为1,2,3,则x= .
解

8. 已知3阶矩阵A的特征值为1，3，2，则的特征值为 .
解

9. 设A，B均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，= 1，则= .
解

10. 设

有相同的特征值，则a= ， b = .
解

有相同的特征值，即

11. 已知矩阵A的各行元素之和为2,则A有一个特征值为 .
解

显然A有一个特征值为2
12．已知0是的一个特征值，则a= .
解
由于0是的一个特征值，则：
，即，即

二、单项选择题
1. 若4阶方阵A与B相似，A的特征值为，则（ ）.
(A) 24 (B) -24 (C) -32 (D) 32
解

选(A)
2. 设A为n阶矩阵,为A的一个特征值,则A的伴随矩阵的一个特征值为( ).

解

3. 设A为n阶矩阵, X为A属于的一个特征向量, 则与A相似的矩阵B=P-1AP的属于的一个特征向量为( ).
(A) PX (B) P-1X (C) P TX (D) P nX
解

4. 已知X = 是矩阵A = 的一个特征向量,则a,b的值分别为( ).
(A) 5, 2 (B) -1, 3 (C) 1, -3 (D) -3, 1
解

选(D)
5. 下列结论正确的是( ).
（A） X1, X2是方程组()X=O的一个基础解系, 则k1X1+k2X2是A的属于的全部特征向量,其中k1, k2 是全不为零的常数
（B） A, B有相同的特征值, 则A与B相似
（C） 如果=0, 则A至少有一个特征值为零
（D） 若同是方阵A与B的特征值, 则也是A+B的特征值
解

(C) 正确 （D）显然不是A+B的特征值
6. 设λ1 ，λ2是矩阵A的两个不相同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1 ，λ2的特征向量，则（ ）.
（A）对任意k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，k1 ξ+ k2η都是A的特征向量
（B）存在常数k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，使k1 ξ+ k2η是A的特征向量
（C）当k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0时 ，k1 ξ+ k2η不可能是A的特征向量
（D）存在唯一的一组常数k1 ≠ 0 ，k2 ≠ 0 ，使k1 ξ+ k2η是A的特征向量
解（A）显然不成立；（B）不存在；（C）正确；（D）不存在.所以选（C）
7. 与矩阵相似的矩阵是（ ）.

解是二重根，将分别代入,只有在(C))中，
故选(C)
8. 下列矩阵中,不能相似对角化的是( ).

解 答案(C)中，是三重特征值，代回中，
显然(C)不能对角化.
9. 若A与B相似，则（ ）.
（A） （B）
（C） A=B （D） A*= B*
解
因为存在可逆矩阵,使
则

选(B)
10. 设向量α=（a1 ，a2 ，… ，an）T ，β=（b1 ，b2 ，… ，bn）T都是非零向量，且满足条件αTβ= 0，记n阶矩阵A =αβT,则( ).
(A) A是可逆矩阵 (B) A2不是零矩阵
(C) A的特征值全为0 (D) A的特征值不全为0
解

故的特征值全为零，而若设A的特征值为，则的特征值为，显然有
选(C)

(B)
1．设3阶矩阵A的特征值为1，2，3，对应的特征向量分别为

解
（1）由题意

（2）

化为线性方程组形式求解，得增广矩阵

（3）解

2．设A为4阶方阵，且，=9，
（1）求的一个特征值；
（2）的一个特征值.
解
（1）由已知：

（2）

3．已知向量X = 是可逆矩阵A = 的伴随矩阵的一个特征向量，求a,b与X所对应的特征值．
解
两边同乘以 得

解得：

4. A是n阶正交矩阵，，证明1是A的特征值.
证明

5. 设A是正交矩阵，
证明

故是的特征值，也是的特征值.
6．已知矩阵
解

7，已知A可相似对角化，求与它相似的对角阵和An.
解 先求A的特征值：

是二重特征值，则有：

解得特征向量

解得特征向量：

所以得相似变换矩阵：

8．设A是3阶方阵，A有3个不同的特征值1，2，3，对应的特征向量依次为令证明：线性无关.
解

线性无关，（它们是不同特征值所对应的特征向量）
故有：

由于 （范德蒙行列式结论）
所以方程只有零解.即线性无关
9．若A与B相似且A可逆，证明：A*与B*相似.
证明

且存在可逆矩阵，使
故A*与B*相似
10．设A =，B =，试判断A 、B是否相似，若相似，求出可逆矩阵P，使得B = P－1AP ．
解

A 、B有相同的特征值且都可以对角化，所以要确定A 、B是否相似，先求A 、B的特征向量：

构成可逆矩阵

11．设矩阵有一个2重特征根，求a的值并讨论A可否相似对角化.
解

代入

此时A 可以对角化

此时A 不能对角化
12．A是3阶矩阵，是线性无关的3维列向量组，且满足

（1） 求矩阵B,使；
（2） 求A的特征值.
解

（2）因为是线性无关的3维列向量组，所以
可逆
所以 即矩阵 A 与 B 相似，由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值.由

得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值

13.设矩阵，已知矩阵A与B相似，计算R(A-2E)+R(A-E).
解： 则A与B 有相同的特征值，先求B 的特征值

代入

2不是A的特征值，

14．A是3阶实对称矩阵，A的特征值为1， 0，-1，A属于1与0的特征向量分别为
（1,a,1）T和(a,a+1,1)T，求A.
解：A是3阶实对称矩阵，A的特征值互不相同，故这三个特征值所对应的特征向量正交.有：

代入：
设属于-1的特征向量，得属于-1的特征向量
得相似变换矩阵
15．设A是n阶实对称矩阵，满足A3-3A2+3A-2E=O，求A的特征值.
解：由于A是n阶实对称矩阵，所以A的特征值都是实数，
两边同乘以特征向量

由于是实数，所以
16．设3阶实对称矩阵A的特征值的一个特征向量，B=A5-4A3+E. 求B的特征值和特征向量.
解 A是3阶实对称矩阵，互不相同，所以对应于的特征向量两两正交.令

解得：

B=f(A)=A5-4A3+E. 的特征值

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