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几何问题之中点题型

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——几何问题之中点题型

1. 掌握三角形的内角和定理；
2. 了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；
3. 学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；
4. 学习分析问题、解决问题的能力。

一.中点有关联想归类：
1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
5.有中点时常构造垂直平分线；
6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；
7.倍长中线。

二.与中点问题有关的四大辅助线：
1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；
2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；
3.出现三角形边上的中点，作中位线；
4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一” 。

三.几何证明之辅助线构造技巧：
1.假如作一条辅助线，能起到什么作用；
2.常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。

模块一、出现三角形的中线，可以延长
一、基础回顾
1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
2.若点是线段的中点，则：
① 从线段来看：；
② 从点与点的相对位置来看：点在点之间，且点关于点对称。

3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。
① 一个三角形有三条中线；
② 每条中线平分三角形的面积；
③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成的两段；
④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。

二、 如何延长三角形的中线
1.延长1倍的中线：
如图，线段是的中线，延长线段至，使（即延长1倍的中线），再连接。

①总的来说，就可以得到一个平行四边形和两对（中心选转型）全等三角形、，且每对全等三角形都关于点中心对称；

②详细地说，就是可以转移角：，，，，，；可以移边：，；可以构造平行线：∥，∥；可以构造边长与、、有关的三角形：、。

（1） 延长倍的中线：（且）
如左（右）下图，点为中线（延长线）上的点，延长至，使，连接、、、.在平行四边形中就可以得到类似（1）中的结论。
注意：通常在已知条件或结论中测及到与、有关的边与角时，会用这种辅助线.

整体做题思路：

例1.如图，中，，是中线.求证：。

【证明】：延长到点使得，联结
∵是中线
∴
在和中:
∵ ； ∴≌
∴，
又∵
∴
∴
∴
►点评：1.比较角度大小，常用两个方法：一是利用三角形的角度关系，将其中一个角表示为另外一个角加上第三个角；二是利同一三角形中大边对大角进行比较大小；
2.倍长中线是常用构造辅助线方法，并再结合同一三角形中大边对大角。

例2.如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交 于.求证：。

【证明】：延长到点使得，联结
∵是中线
∴
在和中:
∵ ； ∴≌
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴

例3.已知中，，，求边上的中线的范围。

【解答】：延长到点使得，联结
∵是中线
∴
在和中:
∵ ； ∴≌
∴
∴在中，由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，可得：
∴
∴
∴
►点评：求线段的范围，一般利用三角形中“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”。

模块二、斜边中线与中位线
一、 出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线
1.如图，在中，，直角所对的边称为的斜边，由，过点作交于点，且。
，.
，，
又，
，
，
，
2.发现线段为斜边上的中线，且等于斜边的一半。
3.作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。

4. 通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。

二、 出现三角形边上的中点，作中位线

1.中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；
以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质.

2.中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；

3.中位线辅助线能起到的作用：
① 在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着传递线段长度的功能.
② 在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功能.

4.通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线：
① 有两个（或两个以上）的中点时；
② 有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。
熟悉以下两个图形：

例4.如图，在四边形中，，点、分别是、的中点，、的延长线分别交的延长线、。求证：。

【证明】：
证法一：如图1：连结，并取的中点为，连结、，
　　则是的中位线， ∴， ∴
　　由是的中位线， ∴ ， ∴ ，

　∵ ， ∴ ，∴ ，从而。
（证法二：如图2，延长到,使，连结（略）。 或者延长到,使，连结也行。（其余方法略））
图2
图1

例5.已知：如图，中，，在上取点，在延长线上取点，连结交于点，若是中点，求证：。

【分析】：要证的，不在同一个三角形中，而它们所在的三角形又不是同类三角形，无法证明它们全等，由于是的中点，想到利用中点构造中心对称图形或中位线来移动或的位置，把它们集中到同一个三角形中或把不同类三角形转化为同类三角形，使问题得以解决。

【证明】：
方法一：如图2，过作交于，易证,再证。
方法二：如图3，过作交的延长线于。易证,再证：
。
方法三：如图4,在上取点,使,连结。则为的中位线。
再证：。
图2
图3
图4

方法四: 如图5，在的延长线上取点，使，连结。则为的
中位线. 再证。
方法五: 如图6, 连结,取的中点，取的中点 ,连结、。则、
分别为中位线。再证，得。
方法六: 如图7, 连结,取的中点，取的中点，连结、。则、
分别为中位线。 再证,得。

图5
图6
图7

例6.已知如图，中，是边的中点，是边的中点，连结并延长交于点。求证：。

【证明】：如图1，过点做，交于
∵是边的中点，
∴。 同理，
∴
即

例7. 如图1-1，已知中，，在中，，连结，取中点，连结和，（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图1-1，求证：且；（2）将图1-1中的绕点逆时针转小于的角，如图1-2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。
图1-2
图1-1

【分析】：图1-1中由于点为直角三角形斜边的中点，显然要利用斜边中线的性质求解.图1-2中尽管绕点进行了旋转，但为的中点的条件依然未变，于是仍然可以利用中点还原出中心对称基本图形，使问题得解；另一方面，由于旋转之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决。
图2
图3

【证明】:（1）如图2，在和中，∵为公共斜边的中点,
∴ ∴，
∵，
∴
∴ 且
（2）成立。
方法一：如图3：延长至，使，连结，，延长交于
易证：
∴ ∴
∴
∵
∴
∵,
∴ ∴，
∴
∵ ∴为等腰直角三角形
∵
∴且
方法二:如图4，取的中点，取的中点，连结，，，
∴,为中位线
∴,
∵为斜边中线 ∴
∴。同理，
∴
∴四边形为平行四边形.
∴， ∴
∴
∴,
∴
∴且
图4

1.如图1，在中，，，点为中点，于点，则等于（ ）
A． B． C． D．

2.如图，中，，为斜边的中点，、分别为、上的点，且，若，，试求的长。

3.如图，在中，，为边的中点，为的平分线，过作的平行线，交于，交的延长线于。求证：

4.如图所示，已知为中点，点在上，且，求证：。

5.如图，中，是边的中点，于点，若，求证：
。

6.如图，已知正方形中，点、分别是、的中点。求证：

7.如图，正方形的边与正方形的边在同一直线上（），连结，取线段的中点。探究：线段、的关系，并加以证明。

练习题目答案
1.
2.【分析】：如下图，可以把看作的一条中线。延长至点，使，连接、。则；所以，。
因为，所以
因为垂直平分，所以
在中，由勾股定理得，所以。
AＡ
G
B D
F
E
1 C
2

3.【分析】：如下图，可以把看作的一条中线；延长至点，使，连接。
则，所以，。
因为，所以，；
又因为，所以，所以
由此得。所以
A
2 3
G
B E D C
F
1
H

4.【提示】：证法一：如图1，延长到,使，连结
易证。 ∴ ,
∵,∴
∴
∴
(证法二：如图2，取的中点，取的中点，连结、；利用中位线来证明。) （其余方法略）

图1
图2

5.【提示】：
证法一：如图1，取的中点, 连结，所以，为中位线，得, 由得,在中，，得,于是。（证法二：如图2，取的中点, 连结，类似法一可证。（其余方法略））
图1
图2

6.【提示】：
证法一，如图1，延长、交于，易证，得，为线段的中点，由能证明，因此为直角三角形斜边中线，所以。
图2
(证法二：如图2，取中点，连结，用中位线的性质证明。)
图1

7.【解答】
猜想：并且
证明：如图1，延长交于点，是线段的中点，
∴。由题意可知： ，，得
∴，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，∴并且。

图1

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