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导数不等式证明

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1.函数，求函数在上的最大值

2.. 已知f(x)=ex-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.

4.已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．

5. (2010年全国)已知函数　f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)设a＝2，求　f(x)的单调区间；
(2)设　f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．
不等式的证明：
一、函数类不等式证明
函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式（）的问题转化为证明（），进而构造辅助函数，然后利用导数证明函数的单调性或证明函数的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。
一、利用题目所给函数证明
【例1】 已知函数，求证：当时，恒有

【绿色通道】
∴当时，，即在上为增函数
当时，，即在上为减函数
故函数的单调递增区间为，单调递减区间
于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即∴ （右面得证），
现证左令，
当 ，
即在上为减函数，在上为增函数，
故函数在上的最小值为，
∴当时，，即
∴，综上可知，当
【警示启迪】如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过就可得证．
2、直接作差构造函数证明
【例2】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；
【绿色通道】设，即，
则=
当时，=
从而在上为增函数，∴
∴当时 ，即，
故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。
【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方法。
巩固练习：
1.证明时，不等式 2.，证明：
3.时，求证：
4. 已知，求证： 5. 求证：
导数高考题精练
1.(年广东卷文)函数的单调递增区间是( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
2.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
A．或 B．或 C．或 D．或
3.（湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是 ( )
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
y
A ． B． C． D．
二、填空题
4.（辽宁卷文）若函数在处取极值，则
5.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .

6.（江苏卷）函数的单调减区间为 .
7.（宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
8.（浙江文）（本题满分15分）已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
9.（北京文）（本小题共14分）
设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.

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