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高数——一元函数积分学

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一元函数积分学
【知识要点】
1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
2、熟练掌握不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
4、熟练掌握不定积分的分部积分法。
5、掌握简单有理函数不定积分的计算。
6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件
7、掌握定积分的基本性质
8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。
9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
11、.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
1不定积分
定义 函数的全体原函数称为函数的不定积分，记作，并称微积分号，函数为被积函数，为被积表达式，为积分变量。因此
，
其中是的一个原函数，为任意常数（积分常数）。
基本积分公式（要求熟练记忆）
（1）
（2）.
（3）.
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）.
（9）.
（10）.
（11）.
正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一，所有积分公式中的均应理解为的连续函数，例如理解为下面的结构式：

式中的方块可以为自变量，也可以是的函数，如：
正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。
2直接积分法
直接积分法是指用代数或三角恒等变形，并用积分的性质和基本积分公式进行积分的积分方法。
3换元积分法
换元积分法就是对不定积分作适当的变量代换：令，或令，把被积表达式变换成对新变量的函数，而对积分时是可利用基本积分公式的类型。这就是换元积分法。
换元积分法的依据就是基本积分公式中的可以换成任意连续可导函数时，公式依然成立。例如：如：
.
当用任意连续可导函数来替换时，公式仍然成立，如，，，，等等，公式均成立：
.
换元积分法分第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。
1、 第一类换元积分法
第一类换元积分法又称凑微分法，这种积分方法是：求积分时，若是的可导函数，用一个新的变量来代换，并用代换，此时积分变成了，而它用可以直接用公式积分得到，最后将换成即可。
2、第二类换元积分法
第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反，所给的积分不能直接套公式计算，而是要将积分变量用一个函数代替（要求严格单调、可导），且，并将用代替，使积分变成，这个积分可以套公式积出为，最后将用作反还原。
4分部积分法
分部积分法也是一种重要的方法，它是由函数之积的微分公式推导出来的。
分部积分公式
设均可导，则，
两边对积分得 。
移项得分部积分公式如下：
或 。
说明：在用分部积分法进行积分时，应努力使积分中右端的积分比左端的积分容易，因此应用分部积分法时，恰当选择和（或和）是解题的关键。如果选取不当，得到的积分会比原积分更不易求出。对和的选择，应当考虑两点：
（1）要容易求得。
（2）要使较所给积分容易计算。
5 定积分
定积分的几何意义是：它是介于轴、曲线、直线之间各部分面积的代数和；在上方的面积取正号，在下方的面积取负号。
对于定积分的定义，我们还应明确以下几点：
（1）定积分的值是一个常数，它知与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，则应有。
（2）在定积分的定义中，我们假定；如果，我们规定
如果则规定
6定积分的计算
1、变上限积分
定义 积分上限为变量时的定积分称为变上限积分。变上限积分一般是上限的函数，记为，于是有，且有下列定理。
定理（对积分上限的导数） 如果函数在区间上连续，则函数

对积分上限的导数等于，即。
设是的可导函数，记，
则此定理可以推广为
。
2、牛顿—莱布尼茨公式
定理（牛顿—莱布尼茨公式） 如果是连续函数在区间上的任意一个原函数，则有。
7 定积分的应用
定积分的应用主要有：平面图形面积的计算以及旋转体体积的计算。

y
a o b x
计算平面图形的面积
如果某平面图形是由两条连续曲线及两条直线和所围成的（其中是下面的曲线，是上面的曲线），则其面积可由下式求出：
o x
y
d

c

如果平面图形是由两条连续曲线及两条直线和所围成的（其中是左边的曲线，是右边的曲线），则其面积可由下式求出：

o a x x+dx b x
y

计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线和直线及轴所围平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积可由下式求出：
o x

y
d
y+dy
y
y
图5.16
c

同理，若立体是由连续曲线 和直线及轴所围平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体，如图所示，则该旋转体的体积可由下式求出：
.
【历年试题选编】
选择题
1、（0806）（ ）

答案：。
分析： 利用不定积分性质和公式即得。
2、（0907）若，则（ ）

答案：. 利用不定积分性质即得。
3、（1005）（ ）

答案：.利用不定积分公式，可知选项正确。
4、（0807）（ ）
.1
答案：.
分析：因为为奇函数。
5、（0906）（ ）

答案：.
分析：因为定积分的值是一个常数。
6、（1007）已知，则（ ）

答案：.

填空题
7、（0817）.
答案：。
8、（0918）。
答案：。
9、（1018）
答案：。
分析：因为。
10、（1017）。
答案：。
分析：因为。

计算题
11、（0823）计算。
答案：。
12、（0923）计算.
答案：.
13、（1023）计算.
答案：.

14、（0827）（1）求曲线及直线所围成的图形所示的面积；
（2）求平面图形绕轴转一周所形成旋转体的体积。
答案：（1）.
（2）。
15、（0927）（1）求在区间上的曲线与轴所围成图形的面积；
（2）求（1）中的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
答案：（1）。
（2）。
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