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课时作业47 圆的方程
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案：B
2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是( )
A．原点在圆上 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
解析：将圆的一般方程化为标准方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，由于0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．
答案：B
3．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析：圆心坐标为(0,0)，
半径r＝＝.
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
答案：A
4．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“F＝E＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意可知，要求圆心坐标为(－，0)，而D可以大于0，故选A.
答案：A
5．(2022·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：设P(x，y)，则由题意可得：2＝，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.
答案：B
6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.
答案：D
7．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1或(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1
D．(x－)2＋(y－1)2＝1
解析：∵圆C的圆心在直线3x－y＝0上．
∴设C(m,3m)．
又圆C半径为1，且与4x－3y＝0相切，
∴＝1，∴m＝±1，
∴圆C的标准方程为：
(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1.故选C.
答案：C
8．(2022·银川模拟)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析：设圆心为(0，b)，半径为R，则R＝|b|，
∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，
∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．
解析：由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为＝，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝2.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝2
10．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．
解析：由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.
答案：
11．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，若|AB|＝，则该圆的标准方程是________．
解析：依据|AB|＝，可得圆心到x轴的距离为，
故圆心坐标为(1，)，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝1.
答案：(x－1)2＋(y－)2＝1
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，
∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①
又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40，②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
13．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
依据题意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由于四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.
14．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解：(1)设圆心C(a，b)，则
解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cosθ，y＝sinθ，
∴·＝x＋y－2＝(sinθ＋cosθ)－2
＝2sin(θ＋)－2，
所以·的最小值为－4.
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