2021高考数学(福建-理)一轮学案64-排列与组合.docx

学案64　排列与组合

导学目标： 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简洁的实际问题．

自主梳理
1．排列的定义：__________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列数的定义：_____________________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
2．排列数公式的两种形式：(1)A＝n(n－1)…(n－m＋1)，(2)A＝，其中公式(1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程．
说明：①n！＝________________________，叫做n的阶乘；②规定0！＝______；③当m＝n时的排列叫做全排列，全排列数A＝______.
3．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做_____________．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用________表示．
4．组合数公式的两种形式：
(1)C＝＝；
(2)C＝，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且m≤的状况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等．
5．C＝C⇔______________，m、k∈N，n∈N*.
6．组合数的两共性质：(1)C＝__________，(2)C＝____________________.
自我检测
1．(2010·北京)8名同学和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为(　　)
A．AA B．AC C．AA D．AC
2．(2011·广州期末七区联考)2010年上海世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必需相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有(　　)
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
3．从4台甲型与5台乙型电视机中任选3台，其中至少要有甲、乙型电视机各一台，则不同的取法共有(　　)
A．140种 B．84种 C．70种 D．35种
4．(2011·烟台期末)2008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船放射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体同学进行关于“神舟七号”的论文评比，若三班级文科共4个班，每班评出2名优秀论文(其中男女生各1名)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览挨次有(　　)
A．576种 B．1 152种 C．720种 D．1 440种
5．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有(　　)
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
6．(2010·重庆)某单位拟支配6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天支配2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的支配方法共有(　　)
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种

探究点一　含排列数、组合数的方程或不等式
例1　(1)求等式＝3中的n值；

(2)求不等式－<中n的解集．

变式迁移1　(1)解方程：A＝140A；
(2)解不等式：A>6A.

探究点二　排列应用题
例2　(2011·莆田模拟)六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站两端；　　　　 (2)甲、乙必需相邻；
(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人；
(5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端．

变式迁移2　用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．

探究点三　组合应用题
例3　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出竞赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参与；
(4)既要有队长，又要有女运动员．

变式迁移3　12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对挨次不变，则不同调整方法总数是(　　)
A．CA B．CA
C．CA D．CA

1．解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按大事发生的过程进行分步．
2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
3．关于排列组合问题的求解，应把握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素优先支配；(2)合理分类与精确     分步；(3)排列组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排解法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2009·湖南)从10名高校毕业生中选3人担当村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85 B．56 C．49 D．28
2．(2010·全国Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
3．(2010·重庆)某单位支配7位员工在10月1日至7日值班，每天支配一人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的支配方案共有(　　)
A．504种 B．960种
C．1 008种 D．1 108种
4．(2011·济宁月考)6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有(　　)
A．13种 B．14种 C．15种 D．16种
5．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是(　　)
A．24 B．36 C．48 D．60
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都毁灭一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答)
7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的其次名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐3、4名，则大师赛共有________场竞赛．
8．(2011·马鞍山调研)参与海地地震救援的中国救援队一小组共有8人，其中男同志5人，女同志3人．现从这8人中选出3人参与灾后防疫工作，要求在选出的3人中男、女同志都有，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)计算C＋C199200；
(2)求C＋C的值；
(3)求证：C＝C＝C.

10．(12分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担当5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必需少于男生；
(2)某女生确定担当语文课代表；
(3)某男生必需包括在内，但不担当语文课代表；
(4)某女生确定要担当语文课代表，某男生必需担当课代表，但不担当数学课代表．

11．(14分)从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？

学案64　排列与组合
自主梳理
1．从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，依据确定的挨次排成一列　从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的全部不同排列的个数　2.①n·(n－1)·…·2·1　②1　③n！　3.从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合数　C　5.m＝k或m＋k＝n　6.(1)C　(2)C＋C
自我检测
1．A　[不相邻问题用插空法，先排同学有A种排法，老师插空有A种方法，所以共有AA种排法．]
2．A　[2件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有A种不同排法，让两件绘画作品插空有A种插法，两件书法作品之间的挨次也可交换，因此共有2AA＝24(种)．]
3．C　[从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，有CC＋CC＝70(种)选法．]
4．B　[女生论文有A种展览挨次，男生论文也有A种展览挨次，男生与女生论文可以交换挨次，有A种方法，故总的展览挨次有AAA＝1 152(种)．]
5．B　[先将1,2捆绑后放入信封中，有C种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有CC种方法，
所以共有CCC＝18(种)方法．]
6．C　[若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C种选法，然后14日、15日有CC种支配方法，共有CCC＝24(种)支配方法；
若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有CCC种支配方法，共有12(种)；
若甲、乙都在15日值班，则共有CC＝6(种)支配方法．
所以总共有24＋12＋6＝42(种)支配方法．]
课堂活动区
例1　解题导引　(1)在解有关A、C的方程或不等式时要留意运用n≥m且m、n∈N*的条件；(2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的意义化简，然后再依据公式进行计算．留意最终结果都需要检验．
解　(1)原方程可变形为
＋1＝，C＝C，
即
＝·，
化简整理得n2－3n－54＝0，
解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，
∴n＝9.
(2)由－
<，
可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12.
又n∈N*且n≥5，
∴n∈{5,6,7,8,9,10,11}．
变式迁移1　解　(1)依据原方程，x (x∈N*)应满足
解得x≥3.依据排列数公式，
原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)
＝140x·(x－1)·(x－2)，
由于x≥3，两边同除以4x(x－1)，
得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，
即4x2－35x＋69＝0，
解得x＝3或x＝ (x∈N*，应舍去)．
所以原方程的解为x＝3.
(2)依据原不等式，x (x∈N*)应满足
故2<x≤8.又由A>6A，
得>6×，所以>1，
所以－75<x<9.
故2<x≤8，所以x∈{3,4,5,6,7,8}．
例2　解题导引　(1)求排列应用题最基本的方法有直接法：把符合条件的从正面考虑解决，直接列式计算；间接法：依据正难则反的解题原则，假如问题从正面考虑状况比较多，简洁重或漏，那么从整体中去掉不符合题意的状况，就得到满足题意的排列种数．(2)相邻问题，一般用捆绑处理的方法．(3)不相邻问题，一般用插空处理的方法．(4)分排问题，一般用直排处理的方法．(5)“小集团”排列问题中，先整体后局部的处理方法．
解　(1)方法一　要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有A种站法，依据分步乘法计数原理，共有A·A＝480(种)站法．
方法二　若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种状况的排列数即得所求的站法数，共有A－2A＝480(种)站法．
(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，依据分步乘法计数原理，共有A·A＝240(种)站法．
(3)由于甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有A种站法；其次步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A种站法，
故共有A·A＝480(种)站法．
(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有A种站法；最终对甲、乙进行排列，有A种站法，
故共有A·A·A＝144(种)站法．
(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种站法，依据分步乘法计数原理，共有A·A＝48(种)站法．
(6)甲在左端的站法有A种站法，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种站法，共有A－2A＋A＝504(种)站法．
变式迁移2　解　依题意先排列除1和2外的剩余4个元素有2A·A＝8(种)方案，再向这排好的4个元素中选1空位插入1和2捆绑的整体，有A种插法，
∴不同的支配方案共有2A·A·A＝40(种)．
例3　解题导引　(1)区分排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题．
(2)解组合问题时，常遇到“至多”、“至少”问题，解决的方法经常用间接法比较简洁，计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当，特殊对限制条件比较多的问题．
解　(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法．
其次步：选2名女运动员，有C种选法．
共有C·C＝120(种)选法．
(2)“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．
(3)从10人中任选5人，有C种选法．
其中不选队长的方法有C种．
所以“至少1名队长”的选法有C－C＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C种选法．其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时共有C－C种选法．故既要有队长，又要有女运动员的选法有C＋C－C＝191(种)．
变式迁移3　C　[从后排8人中选2人有C种，这2人插入前排4人中且前排人的挨次不变，则先从4人中的5个空位插一人有5种；余下的一人则要插入前排5人的空档有6种，故为A.∴所求总数为CA.]
课后练习区
1．C　[丙不入选的选法有C＝＝84(种)，
甲乙丙都不入选的选法有C＝＝35(种)．
所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84－35＝49(种)．]
2．A　[方法一　可分两种互斥状况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)选法．
方法二　总共有C＝35(种)选法，减去只选A类的C＝1(种)，再减去只选B类的C＝4(种)，故有30种选法．]
3．C　[不考虑丙、丁的状况共有AA＝1 440(种)排法．
在甲、乙相邻的条件下，丙排10月1日有AA＝240(种)排法，同理，丁排10月7日也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日也有AA＝48(种)排法，则满足条件的排法有AA－2AA＋AA＝1 008(种)．]
4．C　[当选用信息量为4的网线时有C种；当选用信息量为3的网线时有CC＋1种，共C＋CC＋1＝15(种)．]
5．B　[五人中不排甲、乙、丙，另2人排列有A种方法，这两人中有3个空，按甲在两头和中间分为两类，当甲在两头中的一头时，乙有2种插空法，乙插入后有3个空供丙插，因此有A·C·C·C＝24(种)，当甲在中间时，乙有2种插法，乙插入后也有3个空供丙插，所以共有A·C·C＝12(种)，由分类加法计数原理得：共有24＋12＝36(种)．]
6．14
解析　数字2,3至少都毁灭一次，包括以下状况：
“2”毁灭1次，“3”毁灭3次，共可组成C＝4(个)四位数．
“2”毁灭2次，“3”毁灭2次，共可组成C＝6(个)四位数．
“2”毁灭3次，“3”毁灭1次，共可组成C＝4(个)四位数．
综上所述，共可组成14个这样的四位数．
7．16
解析　每组有C场竞赛，两组共有2C场，每组的第一名与另一组的其次名竞赛有2场，决出冠军和第3名各1场，所以共有2C＋2＋1＋1＝16(场)．
8．45
解析　从3名女同志和5名男同志中选出3人，分别参与灾后防疫工作，若这3人中男、女同志都有，则从全部方案中减去只选派女同志的方案数C，再减去只选派男同志的方案数C，合理的选派方案共有C－C－C＝45(种)．
9．(1)解　C＋C＝C＋C
＝＋200＝4 950＋200＝5 150.(4分)
(2)解　即
又n∈N*，∴n＝7，∴C＋C＝2.(8分)
(3)证明　∵C＝·
＝＝C；(10分)
C＝·
＝＝C，(11分)
∴C＝C＝C.(12分)
10．解　(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CC＋CC种，后排有A种，
共有(CC＋CC)·A＝5 400(种)．(3分)
(2)除去该女生后，先取后排C·A＝840(种)．(6分)
(3)先取后排，但先支配该男生，
有C·C·A＝3 360(种)．(9分)
(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C种，再支配该男生有C种，其余3人全排有A种，
共有C·C·A＝360(种)．(12分)
11．解　从1,3,5,7,9五个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出3个，排成五位数，有CCA＝10×4×120＝4 800个．(6分)
从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出2个，将选出的4个数再选一个做万位数．余下的3个数加上0排在后4个数位上，有
CCCA＝10×6×4×24＝5 760个．(12分)
由分类计数原理可知这样的五位数共有
CCA＋CCCA＝10 560个. (14分)