资源描述
课时作业5 函数与方程及函数的应用
时间：45分钟
A级—基础必做题
一、选择题
1．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．
答案：C
2．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝m2－4>0.∴m2>4，即m>2或m<－2.
答案：C
3．(2022·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
解析：求出当x<0时f(x)的解析式，分类争辩解方程即可．
令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x<0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋>0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1,3}．
答案：D
4．某人想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要门面装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系式是R＝
则总利润最大时，该门面经营的天数是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
解析：由题意，知总成本C＝20 000＋100x.
所以总利润P＝R－C
＝
即P′＝
令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．
答案：D
5．已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是( )
A．k≤2 B．－1<k<0
C．－2≤k<－1 D．k≤－2
解析：由y＝|f(x)|＋k＝0得|f(x)|＝－k≥0，所以k≤0，作出函数y＝|f(x)|的图象，
要使y＝－k与函数y＝|f(x)|有三个交点，
则有－k≥2，即k≤－2，选D.
答案：D
6．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝若方程f(x)－ax＝0有5个实根，则正实数a的取值范围是( )
A.<a<
B.<a<
C．16－6<a<
D.<a<8－2
解析：
由题知f(x)是以4为周期的周期函数，作出y＝f(x)与y＝ax的图象，为使方程f(x)＝ax有五个实数解，由图象可知方程y＝－(x－4)2＋1＝ax，即x2＋(a－8)x＋15＝0在(3,5)上有两个实数解，则0<a<8－2，再由方程f(x)＝ax在(5,6)内无解，得6a>1，即a>，故实数a的取值范围是<a<8－2.故选D.
答案：D
二、填空题
7．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已知一个根在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析：计算函数f(x)＝x3－2x－1在x＝1，x＝，x＝2处的函数值，依据函数的零点存在性定理进行推断．f(1)<0，f(2)>0，f＝－3－1<0，f·f(2)<0，故下一步可断定该根在区间内．
答案：
8．(2022·福建卷)函数f(x)＝的零点个数是________．
解析：分段函数分别在每一段上推断零点个数，单调函数的零点至多有一个．
当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上有一个零点．
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又由于f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．
综上，函数f(x)的零点个数为2.
答案：2
9．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．
解析：g(x)的零点个数不为零，即f(x)图象与直线y＝a的交点个数不为零，画出f(x)的图象可知，a的最小值为1.
答案：1
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2.
(1)求函数g(x)的值域；
(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．
解：(1)g(x)＝＋2＝|x|＋2，
由于|x|≥0，所以0<|x|≤1，
即2<g(x)≤3，故g(x)的值域是(2,3]．
(2)由f(x)－g(x)＝0得2x－－2＝0，
当x≤0时，明显不满足方程，
当x>0时，由2x－－2＝0，
整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，
故2x＝1±，由于2x>0，所以2x＝1＋，
即x＝log2(1＋)．
11．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，依据市场调查，销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．
(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；
(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂每日的利润最大？并求最大值．
解：(1)设日销量q＝，则＝100，∴k＝100e30，
∴日销量q＝，
∴y＝(25≤x≤40)．
(2)当t＝5时，y＝，
y′＝，
由y′>0，得x<26，由y′<0，得x>26，
∴y在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，
∴当x＝26时，ymax＝100e4.
当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂每日的利润最大，最大值为100e4元．
12．已知函数f(x)＝ex－m－x，其中m为常数．
(1)若对任意x∈R有f(x)≥0成立，求m的取值范围；
(2)当m>1时，推断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．
解：(1)f′(x)＝ex－m－1，
令f′(x)＝0，得x＝m.
故当x∈(－∞，m)时，ex－m<1，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(m，＋∞)时，ex－m>1，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当x＝m时，f(m)为微小值，也是最小值．
令f(m)＝1－m≥0，得m≤1，
即若对任意x∈R有f(x)≥0成立，
则m的取值范围是(－∞，1]．
(2)由(1)知f(x)在[0,2m]上至多有两个零点，当m>1时，f(m)＝1－m<0.
∵f(0)＝e－m>0，f(0)f(m)<0，
∴f(x)在(0，m)上有一个零点．
∵f(2m)＝em－2m，令g(m)＝em－2m，
∵当m>1时，g′(m)＝em－2>0，
∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.
∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．
故f(x)在[0,2m]上有两个零点．
B级—力气提升题
1．(2022·广东七校联考)已知函数f(x)＝x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且x0<x1，则f(x1)的值( )
A．恒为负 B．等于零
C．恒为正 D．不大于零
解析：由于函数f(x)＝x－log3x在定义域内是减函数，于是，若f(x0)＝0，当x0<x1时，确定有f(x1)<0，故选A.
答案：A
2．(2022·浙江名校联考)已知函数f(x)＝x2＋＋a(x＋)＋a在定义域上有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝(x＋)2＋a(x＋)＋a－2，x≠0，令x＋＝t，则t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
由于f(x)有零点，则关于t的方程t2＋at＋a－2＝0在(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有解．
∵t≠－1，∴方程t2＋at＋a－2＝0可化为a＝，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，问题就转化为a＝＝＝－(t＋1)＋＋2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，a＝－(t＋1)＋＋2在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是减函数，故当t≤－2时，a≥2；当t≥2时，a≤－，∴a∈(－∞，－]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，－]∪[2，＋∞)
3．设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx.
(1)当m＝2时，求函数y＝f(x)在[1，m]上的最大值．
(2)记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求m的取值范围．
解：(1)当m＝2，x∈[1,2]时，
f(x)＝x·(x－1)＋2＝x2－x＋2＝2＋.
由于函数y＝f(x)在[1,2]上单调递增，
所以f(x)max＝f(2)＝4，即f(x)在[1,2]上的最大值为4.
(2)函数p(x)的定义域为(0，＋∞)，函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x－1|－lnx＋m＝0有解，即m＝lnx－x|x－1|有解，令h(x)＝lnx－x|x－1|.
当x∈(0,1]时，h(x)＝x2－x＋lnx.
由于h′(x)＝2x＋－1≥2－1>0，
当且仅当2x＝时取“＝”，所以函数h(x)在(0,1]上是增函数，所以h(x)≤h(1)＝0.当x∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x＋lnx.
由于h′(x)＝－2x＋＋1
＝＝－<0，
所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以h(x)<h(1)＝0，所以方程m＝lnx－x|x－1|有解时，m≤0，即函数p(x)有零点时，m的取值范围为(－∞，0]．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
