2021高考数学(文理通用)一轮课时作业14-同角三角函数的基本关系及诱导公式.docx

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课时提升作业(十四)
同角三角函数的基本关系及诱导公式
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·舟山模拟)tan150°的值为(　　)
A.33 B.-33 C.3 D.-3
【解析】选B.tan150°=tan(180°-30°)
=-tan30°=-33.
2.(2021·广东高考)已知sin5π2+α=15,那么cosα=(　　)
A.-25 B.-15 C.15 D.25
【解析】选C.sin5π2+α=sin2π+π2+α
=sinπ2+α=cosα=15.
3.(2022·金华模拟)若角α的终边落在第三象限,则cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为
(　　)
A.3 B.-3 C.1 D.-1
【解析】选B.由角α的终边落在第三象限得sinα<0,cosα<0,故原式=cosα|cosα|+2sinα|sinα|=cosα-cosα+2sinα-sinα=-1-2=-3.
【误区警示】解答本题简洁忽视α的范围而导致错解.
4.(2022·厦门模拟)已知cos31°=a,则sin239°·tan149°的值是(　　)
A.1-a2a B.1-a2 C.a2-1a D.-1-a2
【解析】选B.sin239°·tan149°
=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)
=(-cos31°)·(-tan31°)
=sin31°=1-a2.
5.(2022·绍兴模拟)已知sinx=2cosx,则sin2x+1=(　　)
A.65 B.95 C.43 D.53
【解析】选B.由sinx=2cosx得cosx=12sinx代入sin2x+cos2x=1得sin2x=45,所以sin2x+1=95.
【一题多解】本题还可以用以下方法解答:
由于tanx=2,所以sin2x+1=sin2x+1sin2x+cos2x=2sin2x+cos2xsin2x+cos2x=2tan2x+1tan2x+1=95.
6.已知2sinαtanα=3,则cosα的值是(　　)
A.-7 B.-12 C.34 D.12
【解析】选D.2sin2α=3cosα,
所以2cos2α+3cosα-2=0,
(cosα+2)(2cosα-1)=0,
所以cosα=12,选D.
【加固训练】
已知1+sinαcosα=-12,则cosαsinα-1的值是(　　)
A.12 B.-12 C.2 D.-2
【解析】选A.由同角三角函数关系式1-sin2α=cos2α及题意可得cosα≠0,且1-sinα≠0,所以1+sinαcosα=cosα1-sinα,所以cosα1-sinα=-12,即cosαsinα-1=12.
7.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2021)=-1,那么f(2022)等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选C.由于f(2021)=asin(2021π+α)+
bcos(2021π+β)=-asinα-bcosβ=-1,
所以asinα+bcosβ=1.
所以f(2022)=asin(2022π+α)+bcos(2022π+β)
=asinα+bcosβ=1.
8.若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为(　　)
A.1+5 B.1-5
C.1±5 D.-1-5
【思路点拨】先利用根与系数的关系将sinθ+cosθ与sinθcosθ用m表示,再利用(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ构造关于m的方程求解,同时留意Δ≥0这一前提.
【解析】选B.由题意知:
sinθ+cosθ=-m2,sinθcosθ=m4,
又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,
所以m24=1+m2,
解得:m=1±5,
又Δ=4m2-16m≥0,
所以m≤0或m≥4,所以m=1-5.
【误区警示】解答本题简洁忽视Δ≥0的前提条件而致误.
【方法技巧】应用同角三角函数基本关系式的常见规律
sinα+cosα,sinα-cosα与sinαcosα的关系:
(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;
(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;
(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;
(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.
对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·台州模拟)若tanα+1tanα=3,则sinαcosα=　　　　,
tan2α+1tan2α=　　　　.
【解析】由于tanα+1tanα=3,
所以sinαcosα+cosαsinα=3,
即sin2α+cos2αsinαcosα=3.
所以sinαcosα=13.
tan2α+1tan2α
=tanα+1tanα2-2tanα·1tanα=9-2=7.
答案:13　7
10.若f(cosx)=cos3x,则f(sin30°)的值为　　　　.
【思路点拨】将sin30°写成余弦的形式,再利用所给函数关系式求解.
【解析】由于f(cosx)=cos3x,
所以f(sin30°)=f(cos60°)=cos(3×60°)=cos180°=-1.
答案:-1
11.(2022·宁德模拟)已知tanα=2,则sin(π+α)-sinπ2+αcos3π2+α+cos(π-α)的值为　　　　.
【解析】sin(π+α)-sinπ2+αcos32π+α+cos(π-α)=-sinα-cosαsinα-cosα
=-tanα-1tanα-1=-2-12-1=-3.
答案:-3
12.(2022·嘉兴模拟)若3cosα-2sinα=13,则3sinα-cosα3sinα+cosα=　　　　.
【思路点拨】将已知条件平方,通过“1”的代换求出tanα后再求解.
【解析】由3cosα-2sinα=13,
得9cos2α-12sinα·cosα+4sin2α=13,
即9cos2α-12sinα·cosα+4sin2α=13sin2α+13cos2α,两边同除以cos2α得
9tan2α+12tanα+4=0,即(3tanα+2)2=0,
得tanα=-23.
故3sinα-cosα3sinα+cosα=3tanα-13tanα+1=3×-23-13×-23+1=3.
答案:3
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.已知2sin2α+sinαcosα-3cos2α=75,求tanα的值.
【解析】方法一:由已知得10sin2α+5sinαcosα-15cos2α=7sin2α+7cos2α,
所以3sin2α+5sinαcosα-22cos2α=0,
所以(3sinα+11cosα)(sinα-2cosα)=0,
所以3sinα=-11cosα或sinα=2cosα,
所以tanα=-113或tanα=2.
方法二:2sin2α+sinαcosα-3cos2αsin2α+cos2α=75,
所以2tan2α+tanα-3tan2α+1=75,
所以10tan2α+5tanα-15=7tan2α+7,
所以3tan2α+5tanα-22=0,
所以(3tanα+11)(tanα-2)=0,
所以tanα=-113或tanα=2.

【加固训练】
已知1+tan(π+α)1+tan(2π-α)=3+22,求cos2(π-α)+sin3π2+α·cosπ2+α+
2sin2(α-π)的值.
【解析】由已知得1+tanα1-tanα=3+22,
所以tanα=2+224+22=1+22+2=22.
所以cos2(π-α)+sin3π2+αcosπ2+α+2sin2(α-π)
=cos2α+(-cosα)(-sinα)+2sin2α
=cos2α+sinαcosα+2sin2α
=cos2α+sinαcosα+2sin2αsin2α+cos2α
=1+tanα+2tan2α1+tan2α
=1+22+11+12=4+23.
14.已知:f(α)=2sin(π+α)·cos(π-α)-cos(π-α)1+sin2α+cos3π2+α-sin2π2+α,且1+2sinα≠0.求f-π6的值.
【解析】f(α)=-2sinα·(-cosα)-(-cosα)1+sin2α+sinα-cos2α
=2sinαcosα+cosα1+sin2α+sinα-cos2α=cosα(2sinα+1)sinα(2sinα+1)=cosαsinα=1tanα,
所以f-π6=1tan-π6=-3.
15.在△ABC中,sinA+cosA=2,3cosA=-2cos(π-B),求△ABC的三个内角.
【思路点拨】先由sinA+cosA=2,求出角A,再利用3cosA=-2cos(π-B)求角B,最终由内角和定理求角C.
【解析】由于sinA+cosA=2,
所以1+2sinAcosA=2,所以sin2A=1.
由于A为△ABC的内角,
所以2A=π2,所以A=π4.
由于3cosA=-2cos(π-B),
所以3cosπ4=2cosB,所以cosB=32.
由于0<B<π,所以B=π6.
由于A+B+C=π,所以C=7π12.
所以A=π4,B=π6,C=7π12.
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