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第5节 自由落体运动
人教版教参补充题
1.关于自由落体运动，下列说法中正确的是（ ）
A.某段位移内的平均速度等于初速度与末速度和的一半
B.某段时间内的平均速度等于初速度与末速度和的一半
C.在任何相等的时间内速度的变化相等
D.在任何相等的时间内位移的变化相等
解析：由自由落体运动的规律知，=，又，知A、B两项正确；由不变，知C项正确，D项错。
答案：ABC
2.一物体做自由落体运动，落地时的速度为30 m/s，则它下落的高度是 m，它在前2 s内的平均速度是 m/s，它在最终1 s内下落的高度是 m。(取10 )
解析：由 知= m=45 m；2 s末速度=20 m/s
则前2 s平均速度==10 m/s
物体总下落时间，得3 s
则前2 s位移==20 m
故最终1 s内下落高度Δ=25 m
答案：45 10 25
3.在绳的上、下两端各拴一个小球，一人用手拿住绳上端的小球站在三层楼的阳台上，放手后小球自由下落，两小球落地的时间差为Δ。假如人站在四层楼的阳台上，放手让球自由下落，两小球落地的时间差将（空气阻力不计） （选填“增大”“减小”或“不变”）。
解析：设绳长为，每层楼高，由，得
在三楼阳台上：Δ=
在四楼阳台上：Δ=
比较得Δ>Δ
答案：减小
其他版本的题目
广东训练版
1.在把空气近似看成真空的状况下，有、两个小球，小球质量是小球质量的5倍。小球从10 m高处、小球从20 m高处同时自由下落，尝试分析比较在着地之前，、两小球在下落相同时间内的速度、加速度、位移状况。
答案：自由落体运动与物体的质量及初始位置无关，故它们下落相同时间内的速度、加速度、位移是相同的。
图2-5-1
2.图2-5-1是小球做自由落体运动时的频闪照片，照片中相邻小球的像是相隔同样的时间 拍摄到的，各数据是小球距下落起点的距离（单位：cm）。
（1）依据这张频闪照片，你能推断出做自由落体运动的小球具有加速度吗？简述推断的依据。
（2）假如以照片中相邻小球的像之间的平均速度代替它在各个位置的瞬时速度，试作出小球做自由落体运动的速度—时间图象。
（3）从上述分析动身，尝试猜想自由落体运动规律。
答案：（1）在连续相同的时间内，小球发生的位移越来越大，说明小球的运动越来越快，即速度在增大，所以具有加速度。
（2）图是一条直线，图略。
图2-5-2
（3）依据图象，我们可以猜想自由落体运动是初速度为零，加速度几乎不变的变速运动。
3.依据图2-5-2的漫画争辩：他们接受了什么方法测量洞的深度？请指出这种方法的优点与不足。
答案：他们运用自由落体运动学问。此法只能粗测洞的深度，结果不精确，由于没有考虑声音的传播时间。
优点：简洁易行。缺点：不精确。
4.一物体从45 m高处自由下落，那么该物体经多长时间落到地面？最终1 s的初速度是多少？在最终1 s内通过的高度是多少？（取10 ）
解析：由＝得下落时间＝＝ s＝3 s
最终1 s的初速度＝＝20 m/s
最终1 s下落高度Δ＝45 m- m＝25 m。
答案：3 s 20 m/s 25 m
5.一颗自由下落的小石头，经过某点时的速度是9.8 m/s，经过另一点时的速度是39.2 m/s，求这两点间的距离和经过这段距离所用的时间。
解析：令＝9.8 m/s，＝39.2 m/s
则＝ ①
＝ ②
＝ ③
＝ ④
由①②③④式得Δ＝＝＝73.5 m，Δ＝＝＝3 s。
答案：73.5 m 3 s
6.雨滴自屋檐由静止滴下，每隔0.2 s滴下一滴，第1滴落下时第6滴恰欲滴下，此时测得第1、2、3、4滴之间的距离依次为1.62 m、1.26 m、0.9 m，假定落下的雨滴的运动状况完全相同，则此时第2滴雨滴下落的速度为多少？（假设雨滴下落过程中不考虑空气阻力）
解析：由=知，== m/s=7.2 m/s。
答案：7.2 m/s
7.一位同学在“用打点计时器测量自由落体的加速度”试验中，有下列器材可供选择：铁架台、电火花打点计时器及碳粉纸、电磁打点计时器及复写纸、纸带若干、220 V沟通电源、低压直流电源、天平、停表、导线、开关。
（1）其中不必要的器材是 ；缺少的器材是 。
图2-5-3
（2）这位同学从打出的几条纸带中，挑出较为抱负的一条纸带。把开头打的第一个点标记为A，随后连续的几个点依次标记为、、、、，测量出各点间的距离，如图2-5-3所示。
请你在这位同学工作的基础上，求纸带上点、、、的速度，写出所依据的公式，并求出纸带下落的加速度。（结果保留两位有效数字）
（3）试分析误差的主要来源以及减小误差的方法。
答案：（1）电磁打点计时器及复写纸、低压直流电源、天平、停表 刻度尺、重物
== m/s≈0.19 m/s
== m/s≈0.39 m/s
＝= m/s≈0.58 m/s
＝= m/s≈0.77 m/s
加速度＝＝ ＝9.5
（3）误差的主要摩擦阻力、空气阻力及测量误差。减小误差的方法：适当增大重物质量、精确测量。
8.一个物体在地球上做自由落体运动，由静止开头下落4.9 m所用的时间是1.0 s。已知月球上的重力加速度是地球上重力加速度的，若该物体在月球上做自由落体运动，则：
（1）该物体在月球上由静止开头下落同样的高度所用的时间为多长？
（2）由静止开头下落1.0 s的距离有多大？
解析：由＝得在地球上的重力加速度＝＝ ＝9.8 ，故在月球上的重力加速度＝。
（1）在地球上：＝
在月球上：＝，则＝ s。
（2）在月球上下落1.0 s的距离＝＝× m＝0.82 m。
答案：（1） s （2）0.82 m
山东科技版
1.一只花盆从离地面20 m高的某座楼5层自由落下，经过多长时间花盆落到地面？花盆到达地面时的速度有多大？（取10 ，不计空气阻力）
解析，所以= s=2 s，，所以 。
答案：2 s 20 m/s
2.在火星上，做自由落体运动的物体在第1 s内下落4 m。求：
（1）该物体在第2 s末的速度；
（2）在3 s内该物体下落的高度。
解析:设火星表面的重力加速度为，则=，所以== =8
8×2 m/s=16 m/s
== m=36 m。
答案：（1）16 m/s （2）36 m
图2-5-4
3.两个同学在一起测量各自的反应时间，甲同学拿着一把300 mm长的尺子竖直放置，尺子的零刻度端在下；乙同学的手放在尺子的零刻度处预备听到口令后就抓住尺子，假如乙同学听到口令后抓住了尺子的100 mm刻度处，请计算出乙的反应时间。
解析：如图2-5-4所示，释放后尺子自由落下，已知下落的高度，则可以求出反应时间。
依题意，尺子自由落体下落的高度为100 mm=0.1 m
据知，乙的反应时间 s≈0.14 s。
训练科学版
1.关于自由落体运动，下列说法中正确的是（ ）
A.在空气中，不考虑空气阻力的运动是自由落体运动
B.物体做自由落体运动时不受任何外力作用
C.质量大的物体受到的重力大，落到地面时的速度也大
D.自由落体运动是初速度为零的匀加速运动
解析：由自由落体运动条件知：=0，(只受重力)，则A、B均错；物体下落快慢与质量无关。
答案：D
2.证明做自由落体运动的物体从静止开头连续的相等时间间隔内的位移之比为……。
证明：自由落体运动是=0，的匀加速直线运动。
设连续相等的时间间隔为，
则=====
……
==
故…………。
3.在自由落体运动中，第一个2 s、其次个2 s和第5 s内的位移之比为（ ）
A. B. C. D.
解析：由知前2 s位移=20 m，由推论知第2个2 s位移为=60 m，前5 s位移==125 m，故第5 s内位移=，故∶∶。
答案：D
4.为了得到塔身的高度（超过5层楼高），某人在塔顶让一颗石子做自由落体运动，若已知当地重力加速度，则还需测量的物理量有（ ）
A.最初1 s内的位移 B.石子落地的速度
C.石子在最终1 s内下落的高度 D.石子下落的总时间
解析：由和知，测B、D两项可求出塔高，知道石子最终1 s高度，由和Δ可求出。
答案：BCD
5.在高11.25 m的屋檐上，每隔确定时间有一滴水落下。已知第一滴水落到地面时，正好第四滴水离开屋檐，设水滴的运动是自由落体运动，求第一滴水落地瞬间空中各相邻两滴水间的距离。（取10 ）
解析：设时间间隔为，则=，得＝0.5 s
则第四滴水与第三滴水距离==1.25 m
第三滴水与其次滴水距离=3.75 m
其次滴水与第一滴水距离=6.25 m。
答案：1.25 m 3.75 m 6.25 m
上海科技训练版
1.关于自由落体的位移公式，有人作如下推导：由于，，则可推得。这种推导方法错在哪里？
答案：自由落体运动是匀变速直线运动，而仅适用于匀速直线运动的位移计算，用它推得的自由落体运动位移公式是错误的。
2.从塔顶释放一个小球，1 s后从同一个地点再释放一个小球，设两球都做自由落体运动，则落地前，、两球之间的距离（ ）
A.保持不变 B.不断增大
C.不断减小 D.有时增大，有时减小
解析：下落 s后，=，=
所以Δ=
因此Δ随时间的增大而增大，故B正确。
答案：B
3.月球表面四周自由落体加速度的大小约是地球表面四周自由落体加速度大小的。在月球上空196 m的高处使一套质量为60 kg的仪器自由下落，它落到月球表面的时间是多少？
答案：由得≈15.5 s。
4.两位同学分别在塔的不同高度，用两个轻重不同的球做自由落体试验，已知甲球所受的重力是乙球的2倍，释放甲球处的高度是释放乙球处高度的，则（ ）
A.甲球下落的加速度是乙球的2倍
B.甲球落地的速度是乙球的
C.甲、乙两球各落下1 s时的速度相等
D.甲、乙两球各落下1 m时的速度相等
解析：甲、乙两球下落的加速度都等于，A错；由，=知，甲落地速度=，B错；由和知，C、D正确。
答案：CD
5.甲、乙两小球先后从空中同一位置自由下落，甲比乙先下落0.5 s，则在下落过程中，下列说法正确的是（取10 ）（ ）
A.甲相对乙做自由落体运动
B.甲相对乙做向下的匀速运动
C.甲、乙两球的速度之差越来越大
D.甲、乙两球之间的距离越来越大
解析：乙下落时甲的速度为=Δ=10×0.5 m/s=5 m/s，以乙为参考系，甲相对于乙以=5 m/s做匀速直线运动，两球速度之差不变，随着时间增加，两球间距越来越大，B、D正确。
答案：BD
6.一次消防演习中，一个从火灾中逃命的“小孩”从12楼的阳台边上跌下。设各层楼高3 m，消防队员离开该幢楼底层约10 m，看到状况起跑的反应时间为1.2 s。若这个消防队员恰能赶到楼下接住“小孩”，那么要求他跑动的速度至少是多少？（取10 ）
解析：12层楼窗口高取为3×11 m=33 m，小孩从12楼窗口跌至地面的时间为 = s≈2.6 s
由于消防队员的反应时间是Δ1.2 s，要求他赶到楼下的时间为1.4 s，其速度为= m/s≈7.1 m/s
（说明：这是一个估算题，重在估算的方法，教学中不要纠缠在12楼的阳台高等问题之中。）
答案：7.1 m/s
上海科技训练版教参补充题
1.分别计算一个物体从3 m高处（约1层楼的高度）、6 m高处和9 m高处做自由落体运动时，落到地面的速度和所用的时间。
解析：由和得
== s≈0.78 s；=9.8×0.78 m/s≈7.64 m/s，
== s≈1.11 s，=9.8×1.11 m/s ≈10.88 m/s，
== s≈1.36 s，=9.8×1.36 m/s≈13.33 m/s。
答案：7.64 m/s 0.78 s 10.88 m/s 1.11 s 13.33 m/s 1.36 s
图2-5-5
2.一个自由落体运动的图象如图2-5-5所示。试求物体在前2 s内的位移和在第2 s内的位移。
解析：用“面积”表示位移。
前2 s内的位移=×20×2 m=20 m，
第2 s内的位移=×(10+20)×1 m=15 m。
图2-5-6
答案：20 m 15 m
3.如图2-5-6所示是利用自由落体运动规律来测定重力加速度的试验装置示意图。小钢球自由下落，经过光电门1位置时开头计时，经过光电门2位置时停止计时，测出时间，测量两光电门之间的距离为；把光电门2的位置往上移动一段距离，光电门1的位置不变；让小钢球从同一位置自由下落，用同样的方法测出小钢球在两光电门之间的运动时间为，测量两光电门之间的距离为。试导出测量重力加速度的表达式。
解析：由和，得，
所以有，
消去，整理得。
答案：
补充资料
专题一 竖直上抛运动
1.定义：物体只在重力作用下，以确定的初速度竖直向上抛出的运动叫做竖直上抛运动。
2.运动特点：
（1）物体只受重力作用（或重力远大于空气阻力，空气阻力可忽视），加速度恒为重力加速度。
（2）具有竖直向上的初速度。
（3）物体上升达到最高点还要下落：上升阶段是匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动（匀加速直线运动）。
3.竖直上抛运动的运动规律和争辩方法：
（1）分段法：上升过程：（设竖直向上为正方向：）
Ⅰ.运动规律
速度公式：，位移公式：，速度—位移公式：
Ⅱ. 特征量：① 上升时间 =
② 上升的最大高度由得，。
下落过程：（设竖直向下为正方向:＝）
Ⅰ.运动规律
速度公式：，位移公式：，速度—位移公式：
Ⅱ.特征量：① 落地速度：由得，==
② 下落时间=
③总运动时间
图2-5-7
（2）整体法：由于竖直上抛运动的上升阶段和下落阶段的受力状况及加速度是相同的，故可把这一运动看做一个统一的匀变速直线运动，其速度—时间图象如图2-5-7所示。
可见，只要设定物体运动的正方向，规定矢量的正负号（要特殊留意、、、等矢量的正负号），整体法比分段法处理要简捷得多。
一般选取竖直向上为正方向，则，总是正值，上升过程为正值，下降过程为负值；物体在抛出点以上时为正值，物体在抛出点以下时为负值。，。
4.竖直上抛运动的对称性：
（1）速度的对称性：物体在上升和下落过程中经过同一位置时的速度大小相等、方向相反。
（2）时间的对称性：① ＝；② 物体通过同一段高度的过程中，上升时间与下落时间相等。
由图2-5-8可以清楚地看出这种对称性：如：＝－，＝－，……，－＝－，－＝－，……
图2-5-8 图2-5-9
例1 某人在高层楼房的阳台外侧以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15 m处时，所经受的时间为多少？（不计空气阻力，g取10 ）
解析：石块抛出后能够上升的最大高度为 m>15 m。这样石块运动到离抛出点15 m处的位置必定有两个，如图2-5-9所示，因而所经受的时间必为三个。
分段法：石块上升到最高点所用的时间为：=2 s
当石块在抛出点上方距抛出点15 m处时取向上为正方向，则位移 m，10 ，代入公式得：15=20×解得=1 s，=3 s。
由于石块上升的最大高度20 m，所以，石块落到抛出点下方“离抛出点15 m处”时，自由下落的总高度为=20 m+15 m=35 m，下落此段距离所用的时间== s
石块从抛出到第三次经过“离抛出点15 m处”时所用的时间为：=2 s s=(2) s
答案：1 s、3 s或（2） s
专题二 初速度为零的匀变速直线运动的常用推论
设t=0开头计时，，则：
1.等分运动时间(以为时间单位)
（1）末、末、末…的瞬时速度之比为 ∶∶∶…∶=1∶2∶3∶…∶
（2）前内、前内、前内…的位移之比∶∶∶…∶=1∶4∶9∶…∶
（3）第一个内、其次个内、第三个内…的位移之比为∶∶∶…∶=1∶3∶5∶…∶
2.等分位移(以为单位)
（1）通过1 s、2 s、3 s…所用的时间之比为∶∶∶…∶=1∶∶∶…∶
（2）通过第一个、其次个、第三个…所用的时间之比为∶∶∶…∶=1∶()∶()∶…∶()
（3）1 s末、2 s末、3 s末……的瞬时速度之比为： ∶∶∶…∶=1∶∶∶…∶
例2一个做自由落体运动的物体落至地面前最终一秒内通过的路程是全程的一半，求它落到地面所需的时间。
解法一：设物体运动的总路程为，落到地面所需的时间为，由自由落体运动的规律得：
＝
由以上两式） s舍去。
解法二：利用推论：自由落体运动是初速度等于0的匀加速直线运动，从运动开头计时起，通过连续的等大位移所用的时间之比为∶∶∶……＝1∶(1)∶()∶……
故有∶1＝1∶（－1），解得＝（1＋）s
所以，落到地面所需的时间为（2＋）s
图2-5-10
答案：(2+) s
例3屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴
刚好到达地面，而第3滴与第2滴分别位于高为1 m的窗户的上、下沿，如图2-5-10，问：
（1）此屋檐离地面多高？
（2）滴水的时间间隔是多少？（取10 ）
解析：可以将这5滴水运动等效地视为一滴水下落，并对这一滴水的运动全过程分成4个相等的时间间隔，如图中相邻的两滴水间的距离分别对应着各个相等时间间隔内的位移，满足比例关系：1∶3∶5∶7。设相邻水滴之间的距离自上而下依次为：、3、5、7，则窗户高为5，依题意有5=1 ，则=0.2 m。
屋檐高度=3.2 m
由得：=s=0.8 s。所以滴水的时间间隔为：Δ=0.2 s。
答案：（1）3.2 m （2）0.2 s
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