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第2讲 解三角形
1．(仿2021·陕西，7)在△ABC中，若lg sin A－lg sin C＝lg sin B＝－lg 且B∈，则△ABC是________三角形．
解析 由lg sin A－lg sin C＝lg sin B＝－lg 可得lg＝lgsin B＝lg，所以＝＝sin B，又B∈，所以B＝，c＝a.由余弦定理可知b2＝a2＋2a2－2a×a×，整理可得b＝a，因此△ABC为等腰直角三角形．
答案 等腰直角
2．(仿2022·天津，6)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围是________．
解析 由题意得⇒＜A＜，
由正弦定理＝得AC＝2cos A.
∵A∈，∴AC∈(，)．
答案 (，)
3．(仿2021·辽宁，6)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C，则角B＝________.
解析 由正弦定理可得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝，所以B＝.
答案
4．(仿2022·北京，20)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，a＝1，b＝，则S△ABC等于________．
解析 由角A，B，C依次成等差数列，得A＋C＝2B，解得B＝.由余弦定理得()2＝1＋c2－2ccos，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是S△ABC＝acsin B＝×1×2sin＝.
答案
5．(仿2011·福建，14)如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．
解析 在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．
由正弦定理得＝，∴BC＝·sin 30°＝8.
答案 8
6．(仿2011·上海，6)据新华社报道，强台风“珍宝”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严峻的灾难，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树的上半部分折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________．
解析 如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，
∴∠OAB＝60°.由正弦定理知＝，∴AO＝米．
答案 米
7．(仿2021·天津，6)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
解析 A＋C＝120°⇒C＝120°－A，A∈(0°，120°)，
＝＝2⇒BC＝2sin A，
＝＝2⇒AB＝2sin C＝2sin(120°－A)＝cos A＋sin A，
∴AB＋2BC＝cos A＋5sin A＝sin(A＋φ)＝2sin(A＋φ)，其中tan φ＝，故最大值是2.
答案 2
8．(仿2022·福建，13)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则A＝________，△ABC的外形为________．
解析 ∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.
又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，∴A＝60°.
由b2＝ac，即a＝，代入a2－c2＝ac－bc，
整理得(b－c)(b3＋c3＋cb2)＝0，
∴b＝c，∴△ABC为正三角形．
答案 60° 正三角形
9．(仿2021·山东，17)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos 2A＝.
(1)求角A的度数；
(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．
解 (1)∵B＋C＝π－A，即＝－，
由4sin2－cos 2A＝，
得4cos2－cos 2A＝，
即2(1＋cos A)－(2cos2A－1)＝，
整理得4cos2A－4cos A＋1＝0，
即(2cos A－1)2＝0.
∴cos A＝，又0°＜A＜180°，∴A＝60°.
(2)由A＝60°，依据余弦定理cos A＝，得＝.
∴b2＋c2－bc＝3， ①
又b＋c＝3， ②
∴b2＋c2＋2bc＝9. ③
①－③得bc＝2. ④
解②④得或
∴S△ABC＝×1×2×sin 60°＝.
10．(仿2021·全国Ⅱ，17)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设平面对量e1＝，e2＝，且e1⊥e2.
(1)求cos 2A的值；
(2)若a＝2，求△ABC的周长L的取值范围．
解 (1)∵e1⊥e2，∴e1·e2＝·＝2cos C·a＋·1＝0，
即acos C＋－b＝0∴2acos C＋c－2b＝0.
依据正弦定理得：2sin Acos C＋sin C＝2sin B，
∴2sin Acos C＋sin C＝2sin(A＋C)，
∴2sin Acos C＋sin C＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
∴2cos Asin C＝sin C，∵sin C≠0，
∴cos A＝，A∈(0，π)∴A＝∴cos 2A＝cos＝－.
(2)由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－＝即b＋c≤＝4，当且仅当b＝c＝2时取等号，由构成三角形的条件知b＋c＞a＝2，
即b＋c∈(2,4]∴L＝a＋b＋c∈(4,6]．
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