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课时提升作业(三十九)
一、选择题
1.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为( )
(A)f(x)= (B)f(x)=
(C)f(x)= (D)f(x)=
2.推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是( )
(A)① (B)②
(C)③ (D)以上均错
3.(2021·太原模拟)如图是2022年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )
4.记Sn是等差数列{an}前n项的和,Tn是等比数列{bn}前n项的积,设等差数列{an}公差d≠0,若对小于2011的正整数n,都有Sn=S2011-n成立,则推导出a1006=0.设等比数列{bn}的公比q≠1,若对于小于23的正整数n,都有Tn=T23-n成立,则( )
(A)b11=1 (B)b12=1
(C)b13=1 (D)b14=1
5.三段论:“①全部的中国人都坚强不屈;②玉树人是中国人;③玉树人确定坚强不屈”中,其中“大前提”和“小前提”分别是( )
(A)①② (B)①③
(C)②③ (D)②①
6.将石子摆成如图的梯形外形.称数列5,9,14,20,…为“梯形数列”.依据图形的构成,此数列的第2022项与5的差,即a2022-5=( )
(A)1009×2011
(B)1009×2010
(C)1009×2009
(D)1010×2011
7.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*且n≥2),则f1()+f2()+…+f2022()=( )
(A)503 (B)1 006 (C)0 (D)2 012
8.对于平面上的点集Ω,假如连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):
其中为凸集的是( )
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④
二、填空题
9.(2021·惠州模拟)在长方形中,设一条对角线与其一顶点动身的两条边所成的角分别是α,β,则有cos2α+cos2β=1;类比到空间,在长方体中,一条体对角线与从其一顶点动身的三条棱所成的角分别为α,β,γ,则正确的式子是 .
10.(2021·佛山模拟)观看下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,依据上述规律,第五个等式为 .
11.给出下列命题:①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论确定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.其中正确命题为 .
12.(力气挑战题)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:
在y2=2px两边同时求导,得:
2yy′=2p,则y′=,所以过P的切线的斜率:k=.
试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为 .
三、解答题
13.(力气挑战题)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简洁的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越秀丽,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5).
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并依据你得到的关系式求f(n)的关系式.
答案解析
1.【解析】选B.∵f(1)=1,∴f(2)==,f(3)===,f(4)==,…,由此可猜想f(x)=.
2.【解析】选B.①是大前提,③是结论,②是小前提.
3.【解析】选A.观看可知:该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,故下一个呈现出来的图形是A.
4.【解析】选B.由等差数列中Sn=S2011-n,可导出中间项a1006=0,类比得等比数列中Tn=T23-n,可导出中间项b12=1.
5.【思路点拨】依据三段论的结构特征即可解决,务必要分清大前提、小前提及结论.
【解析】选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质:大前提是一个“一般性的命题”(①全部的中国人都坚强不屈),小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②玉树人是中国人),结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③玉树人确定坚强不屈).
6.【思路点拨】观看已知的三个图形中点的个数及其规律,从而得到一般结论,再求a2022,得到表达式后通过化简变形与选项对比得出正确答案.
【解析】选A.由给出的三个图形可知,第n个图形中共有2+3+4+…+(n+2)=个点,因此数列的第2022项为a2022=,于是a2022-5=-5=1 008×2021-5=1 009×2 013-2 013-5=1 009×2 011+2 018-
2 013-5=1 009×2011.
7.【思路点拨】先观看,归纳出fn(x)的解析式的周期,再代入求解.
【解析】选C.由已知可得f1(x)=sinx+cosx,f2(x)=cosx-sinx, f3(x)=-sinx-cosx,f4(x)=sinx-cosx,f5(x)=sinx+cosx,…,因此f1()+f2()+…+f2 012()
=503[f1()+f2()+f3()+f4()]
=503(1-1-1+1)=0.
8.【思路点拨】依据凸集的定义,结合图形的外形特征即可判定.
【解析】选B.依据凸集的定义,结合图形任意连线可得②③为凸集.
9. 【解析】如图,可知cosα=,cosβ=,cosγ=,
而l2=a2+b2+c2,
所以cos2α+cos2β+cos2γ
==1.
答案:cos2α+cos2β+cos2γ=1
10.【解析】由13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.
答案:13+23+33+43+53+63=212
【变式备选】设函数f(x)=(x>0),观看:f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,故fn(x)= .
【解析】依据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.
答案:
11.【解析】演绎推理是由一般到特殊的推理,但是假如前提是错误的,则结论确定错误,演绎推理结论的正误与大前提、小前提是否正确,以及是否符合三段论的推理形式都有关系,所以①③④正确.
答案:①③④
12.【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy′=2x,∴y′=,∴y′===2,
∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.
答案:2x-y-=0
【变式备选】设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4, ,
,成等比数列.
【解析】依据等比数列的性质知,b1·b2·b3·b4,b5·b6·b7·b8,b9·b10
·b11·b12,b13·b14·b15·b16成等比数列,∴T4,,,成等比数列.
答案:
13.【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
∴f(5)=25+4×4=41.
(2)由f(2)-f(1)=4=4×1.
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
…
得f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(2)-f(1)=4×1,
f(3)-f(2)=4×2,
f(4)-f(3)=4×3,
…
f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),
f(n)-f(n-1)=4·(n-1)
∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]
=2n(n-1),
∴f(n)=2n2-2n+1.
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