高中数学(北师大版)必修五教案：3.2-要点解读：一元二次不等式的解法及应用.docx

要点解读：一元二次不等式的解法及应用
要点一 一元二次不等式的解法
【例1】设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，假如M［1，4］，求实数a的取值范围
【命题立意】主要考查一元二次不等式的求解和集合的关系的综合
【标准解析】对二次不等式进行分类争辩，三种状况下分别计算。
【误区警示】争辩不全面
【答案】
解 M［1，4］有两种状况 其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种状况计算a的取值范围
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］
(2)当Δ=0时，a=－1或2
当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］
(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2
设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4
即，解得 2＜a＜，
∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)
【变式训练】解关于x的不等式＞1(a≠1)
【标准解析】含有参数的分式不等式的求解问题，也要对a争辩。
【技巧点拨】结合已知把a分为两类进行争辩
【答案】
解 原不等式可化为 ＞0，
①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解
由于
∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)
②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解
由于,
若a＜0，,解集为(，2)；
若a=0时，，解集为；
若0＜a＜1，,解集为(2，)
综上所述 当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2）
要点二 不等式的性质运用
【例2】已知函数，，试比较与的大小．
【命题立意】考查运用不等式性质比较大小的运用
【标准解析】首先要作差，然后合并化简，提取公因式，变形得到
【误区警示】忽视对x,y的争辩。
【变式训练】设使,，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；
(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
【标准解析】结合二次函数和不等式的性质，证明不等式。
【技巧点拨】留意合理的运用不等式的性质，分析符号问题。
【答案】
解析：(Ⅰ)由于,所以
又,消去,得,
由消去,得
所以
(Ⅱ)抛物线的顶点坐标为
又两边乘以得
,又
而
所以方程在区间与内分别有一实根,即方程在有两个实根
【原创题探讨】
【原创精典1】
（2010全国卷2理）不等式的解集为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】

利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C
【原创精典2】
（2010江西理）不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】考查确定值不等式的化简.确定值大于本身，值为负数.，解得A。
或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排解。
【原创精典3】
（安徽卷文15）若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出全部正确命题的编号)．
①； ②； ③ ； ④； ⑤
【答案】①，③，⑤
【解析】
令，排解②②；由，命题①正确；
，命题③正确；，命题⑤正确。
新动向前瞻
【样题1】，求关于不等式的解集。
【解析】利用已知指数不等式，先确定a的范围，然后结合对数不等式和来解决。
【答案】解集为
【样题2】解关于。

【样题3】已知
求证：（1）；（2）。