2021湖南高考压轴卷-数学(理)-Word版含答案.docx

KS5U2021湖南高考压轴卷
理科数学

一. 选择题：本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面上，复数的对应点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
2、设随机变量听从正态分布N(0,1)，若P(>1)= p，则P(-1<<0)=（ ）
A． B． C． D．
3、设0＜x＜ ，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5
4.函数：，当时，下列选项正确的是 ( ) A. B.
C. D.
5阅读右边的程序框图，输出的结果s的值为( )
A．0 B． C． D．

6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是( )
A．2 B． C． D．3
7.平面内的两个单位向量，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为，且||=，若，则值为（　 　）
A．2 B．4 C． D．
8、在平面直角坐标系中，直线x―y+=0过不等式组（）表示的平面区域，若，则的最大值是（ ）
　A．0 B． C． D．
9、某班班会预备从甲、乙等7名同学中选派4名同学发言，要求甲、乙两人至少有一人参与．当甲乙同时参与时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言挨次的种数为 （ ）
　A．360 B．520 C．600 D．720
10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点动身沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）

二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，假如全做，则按前两题记分）
11．曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=5．设点P，Q分别在曲线C1和C2上运动，则|PQ|的最小值为
12.如右图，是圆的切线，切点为点，直线与圆交于、两点，的角平分线交弦、于、两点，已知，，则的值为 .
13.若存在实数使成立，求常数的取值范围 .
（二）必做题（14—16题）
14．已知全集U=R，集合A={x||x﹣2|＜1}，B={x|y=}，则A∩B= .
15.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为 .
16.已知函数是R上的偶函数,对于都有成立,当,且时,都有,给出下列命题:
①;
②x=-6是函数的图象的一条对称轴;
③函数在上为增函数;
④方程在上有四个解,
其中全部正确命题的序号为____________(把全部正确命题的序号都填上).
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
x
x1

x2

x3
ωx+φ
0

π

2π
Asin（ωx+φ）
0

0
﹣
0
（1）恳求出上表中的x1，x2，x3，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x∈[0，m]上的值域为[﹣，]，其中m∈（2，4），且此时其图象的最高点和最低点分别为P、Q，求与夹角的大小．

18. (本小题满分12分)一场消遣晚会上有5位歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众A是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众B和C对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众A选中4号歌手且观众B未选中4号歌手的概率.
(2)X表示4号歌手得到观众A、B、C的票数之和,求X的分布列和数学期望.

19. (本小题满分12分)在直角梯形ABCD中，AD//BC，,
,如图（1）．把沿翻折，使得平面.
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在点N，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20. (本小题满分13分)学校餐厅每天有500名同学就餐，每星期一有A，B两种套餐可选，每个同学任选一种，其中A是本校的传统套餐，B是从外校引入的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A套餐的同学，下星期一会有的同学改选B套餐；而选B套餐的同学，下周星期一会有（）的同学改选A套餐，用,分别表示在第个星期选A套餐的人数和选B套餐的人数．
（I）用表示；
（2）若，且选A套餐的同学人数保持不变，求；
（3）依据调查，存在一个常数，使得数列为等比数列，且，求的取值范围．

21.（本小题满分13分）已知椭圆过点，且长轴长等于4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若的值.

22.（本小题满分13分）
已知函数，，．
（1）求函数的极值点；
（2）若在上为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

KS5U2021湖南高考压轴卷
理科数学

一、 选择题（每小题5分，共50分）
1、D 2、D 3、B 4、B 5、A 6、C 7、B 8、D 9、C 10、C
二、 填空题（每小题5分，共25分）
11、 12、 13、 14、（1，2] 15、 16、①②④
三、解答题：本大题共六小题，共75分。
17.

与夹角为
18. (1) 设大事D表示:观众A选中4号歌手且观众B未选中4号歌手。观众A选中4号歌手的概率为,观众B未选中4号歌手的概率为。所以P(D) = .
因此，观众A选中4号歌手且观众B未选中4号歌手的概率为.
(2) X表示4号歌手得到观众A、B、C的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众A选中4号歌手的概率为,观众B、C选中4号歌手的概率为。
当观众A、B、C均未选中4号歌手时，这时X=0，P(X = 0) = .
当观众A、B、C中只有1人选中4号歌手时，这时X=1，P(X = 1) = .
当观众A、B、C中只有2人选中4号歌手时，这时X=2，P(X = 2) = .
当观众A、B、C均选中4号歌手时，这时X=3，P(X =3) = .
X的分布列如下表：
X
0
1
2
3
P

所以，数学期望.
19.（1）由已知条件可得．…………………2分
∵平面，．
∴．……………………………………4分
又∵，∴．……………………………………5分
（2）假设在线段上存在点N，使得与平面所成角为．
以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得．
∴．………………6分
设平面的法向量为，
则∴
令，得平面的一个法向量为，
……………………8分
设，则，∴，
又∵平面的法向量且直线与平面所成角为，
∴，……………………………………………10分
可得，∴（舍去）．
综上，在线段上存在点N，使与平面所成角为，此时．…………12分
20.解：（1）由已知得，所以，
得． 4分
（2） ，
． 8分
（3） 是等比数列，
，得，
，得， 11分
，， ．13分
21．解：（Ⅰ）由题意，椭圆的长轴长，得，…………2分
∵点在椭圆上，∴得，…………４分
∴椭圆的方程为.………………6分
（Ⅱ）由直线l与圆O相切，得，即，设，由消去y，整理得………………8分
由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，∴.
…………10分
∴………………11分
∵，∴.………………１2分
∵，∴，，得k的值为.…………13分
22.试题分析：(1)由于.由得，
所以为函数的微小值点；
（2）.
在上为单调函数，则或在上恒成立.
等价于,所以.
等价于，所以.由此可得的取值范围.
（3）构造函数，[来源:学科网ZXXK]
在上至少存在一个，使得成立，则只需在上的最大值大于0 即可.接下来就利用导数求在上的最大值.
当时，，所以在不存在使得成立.
当时，，由于，所以在恒成立，
故在单调递增，，
所以只需，解之即得的取值范围.
试题解析：(1)由于.由得，
所以为函数的微小值点……………………………………3分
（2），.
由于在上为单调函数，所以或在上恒成立 ……………………………………5分
等价于
． …………………………………7分
等价于即在恒成立，
而．
综上，的取值范围． ………………………………………8分
（3）构造函数，
当时，，所以在不存在使得成立.
当时，……………………………………11分
由于，所以在恒成立，
故在单调递增，，
所以只需，解之得，
故的取值范围 ……………………………………………13分