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利用错位相减解决数列问题
[典例] 数列{an}的前n项和记为Sn，点(n，Sn)在曲线f(x)＝x2－4x(x∈N＋)上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋5)·2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn的值．
[审题视角] 本题考查数列求和问题，解题关键在于把握由一个等差数列与一个等比数列相乘而得到的复合数列求和时最直接的方法是错位相减法．
[解析] (1)由点(n，Sn)在曲线f(x)＝x2－4x(x∈N＋)上知Sn＝n2－4n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝－3，满足上式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－5.
(2)由bn＝(an＋5)·2n－1得bn＝n·2n，
∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，①
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
①－②得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
∴－Tn＝－n·2n＋1，即Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.
1．一般地，假如数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列(公比q≠1)，求数列{an·bn}的前n项和时，可接受错位相减法．
2．用乘公比错位相减法求和时，应留意：
(1)要擅长识别题目类型，特殊是等比数列公比为负数的情形更值得留意．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特殊留意将两式“错项”对齐，以便下一步精确 写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用等比数列求和公式时必需要留意公比q是否为1，从而选取恰当的表达方式．
1．(2022·长春模拟，21)已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(3－)2.求证：数列{an}是等差数列；
(3)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
解：(1)由ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，
得f(x)(ax－1)＝b.
若ax－1＝0，则b＝0，不合题意，
故ax－1≠0，∴f(x)＝.
由f(1)＝2＝，得2a－2＝b.①
由f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立，
得＝－，
由此解得a＝.②
把②代入①，可得b＝－1.
∴f(x)＝＝(x≠2)．
(2)证明：∵f(an)＝，
Sn＝(3－)2，
∴Sn＝(an＋1)2，∴a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1；
当n≥2时，Sn－1＝(an－1＋1)2，∴an＝Sn－Sn－1＝(a－a＋2an－2an－1)，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an>0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
∴数列{an}是等差数列．
(3)数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n－1.
∴bn＝.
Tn＝＋＋＋…＋，③
两边同乘以，得
Tn＝＋＋＋…＋④
③－④，得Tn＝＋＋＋…＋－，
∴Tn＝2×(＋＋＋…＋)－－＝2×－－＝－，
∴Tn＝3－.
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