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其次章 2.1 2.1.3 第1课时
一、选择题
1.下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是( )
A.y= B.y=x3
C.y=x0 D.y=x2
[答案] D
[解析] ∵函数y=x2的图象是开口向上的抛物线,对称轴为y轴,∴函数y=x2在(-∞,0)上为减函数.
2.设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的增函数,则有( )
A.a> B.a≤
C.a>- D.a<
[答案] A
[解析] 由题意2a-1>0,∴a>.
3.假如函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1、x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是( )
A.>0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.>0
[答案] C
[解析] 由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A、B、D正确;对于C,若x1<x2时,可能有x1=a或x2=b,即f(x1)=f(a)或f(x2)=f(b),故C不成立.
4.(2022~2021学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.a<4 B.a≤4
C.a>4 D.a≥4
[答案] D
[解析] 函数f(x)的图象的对称轴为x=a,由题意得a≥4.
5.若函数f(x)在区间(a,b]上是增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数f(x)在区间(a,c)上( )
A.必是增函数 B.必是减函数
C.是增函数或是减函数 D.无法确定单调性
[答案] D
[解析] 函数f(x)在两个单调增区间的并区间上并不愿定是增函数.如图所示.
6.设f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则( )
A.f(1)>f(2) B.f(-a)<f(a)
C.f(0)<f(a) D.f(1)<f(2)
[答案] A
[解析] ∵f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,
∴f(1)>f(2),故选A.
二、填空题
7.已知f(x)在(0,+∞)上是减函数,且m=f(),n=f(a2-a+1),则m与n的大小关系是____________.
[答案] m≥n
[解析] a2-a+1=(a-)2+≥,
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f()≥f(a2-a+1),
∴m≥n.
8.已知函数f(x)的图象如图.则f(x)的单调减区间为________,最大值为________,最小值为________.
[答案] [-3,1] 2 -3
[解析] 由图可知f(x)的单调减区间为[-3,1],最大值为2,最小值为-3.
三、解答题
9.(2022~2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f(x)=,证明函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
[证明] 设任意x1∈(1,+∞),x2∈(1,+∞),且x1<x2.
f(x2)-f(x1)=-
=
=
∵x1<x2,∴x1-x2<0.
又∵x1>1,x2>1,
∴2x1-1>0,2x2-1>0,
∴<0,
∴f(x2)<f(x1).
故函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
10.推断函数f(x)=-x3+1在R上的单调性.
[证明] 函数f(x)=-x3+1在R上是减函数.
设x1、x2∈R,且x1<x2,
Δy=f(x2)-f(x1)=-x+1+x-1=x-x=(x1-x2)(x+x1x2+x)
=(x1-x2),
∵x1<x2,∴x1-x2<0,
又2+>0,∴f(x2)-f(x1)<0,
∴Δy<0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
一、选择题
1.在(-∞,0)上是减函数的是( )
A.y=1-x2 B.y=-
C.y=x-1 D.y=
[答案] D
[解析] 函数y=1-x2,y=-,y=x-1在区间(-∞,0)上是增函数,函数y=在(-∞,0)上为减函数,故选D.
2.已知函数f(x)=8+2x-x2,那么( )
A.f(x)在(-∞,0)上是减函数 B.f(x)是减函数
C.f(x)是增函数 D.f(x)在(-∞,0)上是增函数
[答案] D
[解析] 函数f(x)=8+2x-x2的图象为开口向下,对称轴是x=1的抛物线,∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
3.函数y=|x+2|在区间[-3,0]上是( )
A.递减 B.递增
C.先减后增 D.先增后减
[答案] C
[解析] y=|x+2|=,
作出y=|x+2|的图象,
易知在[-3,-2]上为减函数,
在[-2,0]上为增函数.
4.已知f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,a、b∈R,且a+b≤0,则有( )
A.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) D.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)
[答案] A
[解析] ∵f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,a、b∈R,且a+b≤0,∴a≤-b,b≤-a,
∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
二、填空题
5.若f(x)=x2+2mx+2在(-∞,1]上是减函数,则实数m的取值范围为________.
[答案] m≤-1
[解析] ∵函数f(x)=x2+2mx+2的对称轴为x=-m,∴要使函数在(-∞,1]上是减函数,应满足-m≥1,∴m≤-1.
6.函数y=x2+x+1(x∈R)的递减区间为________.
[答案] (-∞,-]
[解析] 函数y=x2+x+1的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-,
∴函数的递减区间为(-∞,-].
三、解答题
7.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).
求证:函数F(x)在R上是单调增函数.
[证明] 任取x1、x2∈R,且x1<x2,
∵函数f(x)是R上的单调增函数,
∴f(x1)<f(x2),f(2-x1)>f(2-x2),
即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,
∴F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)<F(x2).
∴函数F(x)在R上是单调增函数.
8.争辩函数f(x)=(a≠)在(-2,+∞)上的单调性.
[解析] 设x1、x2为(-2,+∞)内的任意两个实数,且x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=-
=
=.
∵x1>-2,x2>-2,x1<x2,
∴x1+2>0,x2+2>0,x2-x1>0.
因此,当a>时,2a-1>0,此时f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),此时函数f(x)=在(-2,+∞)上是增函数;
当a<时,2a-1<0,此时f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)=在(-2,+∞)上是减函数.
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