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课时提升作业(三十四)
一、选择题
1.点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最大值是( )
(A)2 (B)2-
(C)2+ (D)4
2.(2021·柳州模拟)直线y=3x+1关于y轴对称的直线方程为( )
(A)y=-3x-1 (B)y=3x-1
(C)y=-3x+1 (D)y=-x+1
3.(2021·桂林模拟)已知点M是直线l:2x-y+4=0与x轴的交点,过M点作直线l的垂线,则垂线方程为( )
(A)x-2y-2=0 (B)x+2y+2=0
(C)x-2y+2=0 (D)x+2y-2=0
4.(2021·长沙模拟)若曲线y=2x-x3在横坐标为-1的点处的切线为l,则点
P(3,2)到直线l的距离为( )
(A) (B)
(C) (D)
5.(2021·重庆模拟)“m=”是直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的( )
(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件
6.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )
(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0
(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0
7.(2021·合肥模拟)设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为( )
(A)y=2x+5 (B)y=2x+3
(C)y=3x+5 (D)y=-x+
8.分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2相互平行且有最大距离,则l1的方程是( )
(A)x-y-4=0 (B)x+y-4=0
(C)x=1 (D)y=3
9.若点A(3,5)关于直线l:y=kx的对称点在x轴上,则k是( )
(A) (B)±
(C) (D)
10.(力气挑战题)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
(A)2 (B)3
(C)3 (D)4
二、填空题
11.(2021·重庆模拟)已知两条直线l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0的交点为P,直线l3的方程为3x-4y+5=0.则过点P且与l3平行的直线方程是 .则过点P且与l3垂直的直线方程是 .
12.已知定点A(1,1),B(3,3),动点P在x轴上,则|PA|+|PB|的最小值是 .
13.若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离为 .
14.(2021·武汉模拟)已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为 .
三、解答题
15.(力气挑战题)如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.
(1)证明:|PM|·|PN|为定值.
(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
答案解析
1.【解析】选C.由点到直线的距离公式得d==2-sin(θ+),又θ∈R,
∴dmax=2+.
【变式备选】点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离的最大值等于( )
(A)2 (B)3 (C)3 (D)2
【解析】选C.直线l:y=k(x-2)的方程可化为kx-y-2k=0,所以点P(-1,3)到该直线的距离为d==3=3,由于≤1,
所以d≤3,当且仅当k=1时取等号,所以距离的最大值等于3.
2.【解析】选C.∵两直线关于y轴对称,则两直线的斜率互为相反数,即对称直线斜率为-3,又直线过(0,1),
∴方程为y=-3x+1.
3.【解析】选B.∵y=0时,2x+4=0,x=-2,
∴l的垂线为y=-(x+2),
即x+2y+2=0.
4.【思路点拨】先利用导数的几何意义求出切线l的方程,再求点P到直线l的距离.
【解析】选A.由题意得切点坐标为(-1,-1).切线斜率为k=y'=2-3×(-1)2=-1,故切线l的方程为y-(-1)=-1×[x-(-1)],整理得x+y+2=0,由点到直线的距离公式得:点P(3,2)到直线l的距离为=.
5.【解析】选B.当m=时,x+y+1=0与直线-x+y-3=0垂直,但反之不成立,如m=-2时两直线也是垂直的.
6.【解析】选A.所求直线过点A且与OA垂直时满足条件,而kOA=2,故所求直线的斜率为-,所以所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.
7.【思路点拨】分别求出点A关于∠B,∠C的平分线的对称点坐标,再利用角平分线的性质及两点式得BC的方程.
【解析】选A.点A(3,-1)关于直线x=0,y=x的对称点分别为A'(-3,-1),
A″(-1,3),由角平分线的性质知,点A'和点A″都在直线BC上,故得直线BC的方程为y=2x+5.
8.【解析】选B.当l1与l2之间距离最大时,l1⊥AB,故l1的斜率为-1,又过点A(1,3),由点斜式得l1的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
9.【解析】选D.设点A(3,5)关于直线l:y=kx的对称点为B(x0,0),依题意得
解得k=.
10.【解析】选C.由题意知,M点的轨迹为平行于l1,l2且到l1,l2距离相等的直线l,其方程为x+y-6=0,
∴M到原点的距离的最小值d==3.
11.【解析】(1)由得∴P(0,2).
∵=,
∴过点P且与l3平行的直线方程为
y-2=(x-0),即3x-4y+8=0.
(2)∵P(0,2),=,
∴过点P且与l3垂直的直线方程为
y-2=-(x-0),
即4x+3y-6=0.
答案:3x-4y+8=0 4x+3y-6=0
12.【解析】点A(1,1)关于x轴的对称点为C(1,-1),
则|PA|=|PC|,设BC与x轴的交点为M,
则|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=2.
由三角形两边之和大于第三边知,
当P不与M重合时,|PA|+|PB|=|PC|+|PB|>|BC|,
故当P与M重合时,|PA|+|PB|取得最小值2.
答案:2
13.【解析】由两直线平行的条件得3m=4×6,解得m=8,
此时直线6x+my+14=0的方程可化为3x+4y+7=0,∴两直线3x+4y-3=0和3x+4y+7=0间的距离为d==2.
答案:2
【误区警示】本题求解时易不将6x+8y+14=0化简,直接求两平行线间的距离,得到d=或的错误,根本缘由是没能把握好两平行线间距离公式的应用条件.
14.【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,4),直线l1的纵截距为4-k,直线l2的横截距为2k2+2,如图所示:
所以四边形的面积S=[(4-k)+4]×2+×4×[(2k2+2)-2]=4k2-k+8,故面积最小时,k=.
答案:
15.【解析】(1)设P(x0,x0+)(x0>0).
则|PN|=x0,|PM|==,
因此|PM|·|PN|=1.
(2)连接OP,直线PM的方程为
y-x0-=-(x-x0),
即y=-x+2x0+.
解方程组
得x=y=x0+,所以|OM|=x0+.
S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM
=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|
=x0(x0+)+(x0+)
=+(+)≥+1,
当且仅当x0=,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.
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