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江苏省扬州中学高三数学月考试卷
2021.10
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1. 已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，则M∩N＝ ．(0,1)
2. 复数z＝为纯虚数，则实数a的值为 ．1
3. 不等式|x＋1|·(2x―1)≥0的解集为 ． {x|x＝―1或x≥}
4. 函数f (x)＝＋a（x≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x)为奇函数”的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．
充要
5. m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必过定点_________．(9,－4)
6. 向量a＝(1,2)、b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k＝_________．
由题意知，a与b不共线，故k∶1＝1∶(－3)，∴k＝－
7. 关于x的方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，则实数a的取值范围是 ．
[－4,4]
8. 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．4
解：x＋2y＝8－x·(2y)≥8－2，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4) (x＋2y＋8)≥0．又x＋2y＞0，∴x＋2y≥4．
9. 已知点x,y满足不等式组，若ax＋y≤3恒成立，则实数a的取值范围是__________．(－∞,3]
10. 已知△ABC是等边三角形，有一点D满足＋·＝，且||＝，那么·＝ ． 3
11. 若函数f (x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_________．[,＋∞)
解：f ¢(x)＝2mx＋－2≥0对x＞0恒成立，2mx2＋1－2x≥0∴2m≥＝－＋，令t＝＞0∴2m≥－t2＋2t，∵max＝1，∴2m≥1，∴m≥．
12. 已知函数f (x)＝，若x1, x2∈R，x1≠x2，使得f (x1)＝f (x2)成立，则实数a的取值范围是 ． (－∞,4)
13. 将y＝sin2x的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点，则φ的最小值为_______．
解法一：点代入y＝sin(2x－2φ)∴sin(－2φ)＝∴－2φ＋＝2kπ＋或－2φ＋＝2kπ＋∴φ＝－kπ＋或φ＝－kπ∴φ的最小值为．
解法二：结合函数y＝sin2x的图形．
14. 已知函数f (x)满足f (x)＝f ()，当x∈[1,3]时，f (x)＝lnx，若在区间[,3]内，函数g(x)＝f (x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．
,
二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分14分）
已知直线和．
问：m为何值时，有：（1）；（2）．
解：（1）∵，∴，得或；
当m＝4时，l1：6x＋7y－5＝0，l2：6x＋7y＝5,即l1与l2重合，故舍去．
当时，即
∴当时，． ………7分
（2）由得或；
∴当或时，． ………14分
16. （本小题满分14分）
已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M，且与x轴两个相邻的交点的距离为π．
（1）求f (x)的解析式；
（2）在△ABC中，a＝13，f (A)＝，f (B)＝，求△ABC的面积．
解：（1）依题意知，T＝2π，∴ω＝1，∴f (x)＝sin(x＋φ)
∵f ()＝sin(＋φ)＝，且0＜φ＜π ∴＜＋φ＜ ∴＋φ＝ 即φ＝
∴f (x)＝sin＝cosx． ………6分
（2）∵f (A)＝cosA＝，f (B)＝cosB＝， ∴A,B∈(0,)
∴sinA＝，sinB＝ ………8分
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ ………10分
∵在△ABC中＝ ∴b＝15. ………12分
∴S△ABC＝absinC＝×13×15×＝84． ………14分
17. （本小题满分15分）
已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120º，当k为何值时，
（1）ka－b与a－kb垂直；
（2）|ka－2b|取得最小值？并求出最小值．
解：（1）∵ka－b与a－kb垂直，∴(ka－b)·(a－kb)＝0．
∴ka2－k2a·b－b·a＋kb2＝0．∴9k－(k2＋1)×3×2·cos120°＋4k＝0．
∴3k2＋13k＋3＝0．∴k＝． ………7分
（2）∵|ka－2b|2＝k2a2－4ka·b＋4b2＝9k2－4k×3×2·cos120°＋4×4
＝9k2＋12k＋16＝(3k＋2)2＋12．
∴当k＝－时，|ka－2b|取得最小值为2． ………15分
18. （本小题满分15分）
如图①，一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km．
（1）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km．现打算利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．
（2）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE＝θ(0≤θ≤)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y的最小值．
解：（1）由已知可得△ABC为等边三角形，∵AD⊥CD，∴水下电缆的最短线路为CD.
过D作DE⊥AB于E，可知地下电缆的最短线路为DE、AB. ………3分
又CD＝1，DE＝，AB＝2，故该方案的总费用为
1×4＋×2＋2×0.5＝5＋ （万元）． …………6分
（2）∵∠DCE＝θ (0≤θ≤)
∴CE＝EB＝，ED＝tanθ，AE＝－tanθ.
则y＝×4＋×2＋(－tanθ)×2＝2×＋2 ……9分
令f (θ)＝ (0≤θ≤)
则f ¢(θ)＝＝ ，……11分
∵0≤θ≤，∴0≤sinθ≤，记sinθ0＝，θ0∈(0,)
当0≤θ＜θ0时，0≤sinθ＜，∴f ¢(θ)＜0
当θ0＜θ≤时，＜sinθ≤，∴f ¢(θ)＞0
∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0,]上单调递增．……13分
∴f (θ)min＝f (θ0)＝＝2，从而ymin＝4＋2，此时ED＝tanθ0＝，
答：施工总费用的最小值为（4＋2）万元，其中ED＝. ……15分
19. （本小题满分16分）
已知a为实数，函数f (x)＝a·lnx＋x2－4x．
（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论；
（2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（3）设g(x)＝2alnx＋x2－5x－，若存在x0∈[1, e]，使得f (x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．
解：（1）函数f (x)定义域为(0,＋∞)，f ¢(x)＝＋2x－4＝
假设存在实数a，使f (x)在x＝1处取极值，则f ¢(1)＝0，∴a＝2， ……2分
此时，f ¢(x)＝，
∴当0＜x＜1时，f ¢(x)＞0，f (x)递增；当x＞1时，f ¢(x)＞0，f (x)递增．
∴x＝1不是f (x)的极值点．
故不存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值． ………4分
（2）f ¢(x)＝＝，
①当a≥2时，∴f ¢(x)≥0，∴f (x)在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分
②当a＜2时，令f ¢(x)＞0，则x＞1＋或x＜1－，
∴f (x)在(1＋,＋∞)上递增，
∵f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋＜3，解得：6＜a＜2
综上，a＞－6． ………10分
（3）在[1,e]上存在一点x0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．
有
①当，即时， 在上单调递减，
所以的最小值为，由可得，
由于，所以； ………12分
②当，即时，在上单调递增，
所以最小值为，由可得； ………14分
③当，即时，可得最小值为，
由于，所以， ，
故 此时不存在使成立．
综上可得所求的范围是：或． ………16分
解法二：由题意得，存在x∈[1, e]，使得a(lnx－)＞x＋成立．
令m(x)＝lnx－，∵m(x)在[1, e]上单调递增，且m(1)＝－1＜0, m(e)＝1－＞0
故存在x1∈(1,e)，使得x∈[1, x1)时，m(x)＜0；x∈(x1, e]时，m(x)＞0
故存在x∈[1, x1)时，使得a＜成立，·························(☆)
或存在x∈(x1, e]时，使得a＞成立，·························(☆☆) ………12分
记函数F(x)＝，F ¢(x)＝
当1＜x≤e时，(x2－1)lnx－(x＋1)2＝(x2－1)·
∵G(x)＝lnx－＝lnx－－1递增，且G(e)＝－＜0
∴当1＜x≤e时，(x2－1)lnx－(x＋1)2＜0，即F ¢(x)＜0
∴F(x)在[1, x1)上单调递减，在(x1, e]上也是单调递减， ………14分
∴由条件(☆)得：a＜F(x)max＝F(1)＝－2
由条件(☆☆)得：a＞F(x)min＝F(e)＝
综上可得，a＞或a＜－2． ………16分
20. （本小题满分16分）
已知常数a＞0，函数f (x)＝ax3－4(1－a)x，g(x)＝ln(ax＋1)－．
（1）争辩f (x)在(0,＋∞)上的单调性；
（2）若f (x)在上存在两个极值点x1、x2，且g(x1)＋g(x2)＞0，求实数a的取值范围．
解：（1）由题意可知：f ¢(x)＝ax2－4(1－a)
当a≥1时，f ¢(x)＞0，此时，f (x)在区间(0,＋∞)上单调递增．
当0＜a＜1时，由f ¢(x)＝0得：x1＝ （x2＝－＜0舍去）
当x∈(0, x1)时，f ¢(x)＜0；当x∈(x1,＋∞)时，f ¢(x)＞0.
故f (x)在区间(0, x1)上单调递减，在区间(x1,＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≥1时，f (x)在区间(0,＋∞)上单调递增；
当0＜a＜1时，f (x)在区间(0, )上单调递减，在区间(,＋∞)上单调递增． ………6分
（2）由（1）知，当a≥1时，f ¢(x)≥0，此时f (x)不存在极值点，
因而要使得f (x)有两个极值点，必有0＜a＜1.
又∵f (x)的极值点只可能是x1＝和x2＝－，
由g(x)的定义可知，x＞－且x≠－2，∴－＞－且x≠2
解得：0＜a＜或＜a＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分
此时，由（*）式易知，x1, x2分别是f (x)的微小值点和极大值点．
而g(x1)＋g(x2)＝ln(ax1＋1)(ax2＋1)－－
＝ln[a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1]－＝ln(2a－1)2－
＝ln(2a－1)2－－2 ………10分
令x＝2a－1，由0＜a＜且a≠知，当0＜a＜时，－1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1 ，记h(x)＝lnx2＋－2．
①当－1＜x＜0时，h(x)＝2ln(－x)＋－2，
设t＝－x∈(0,1)，j(t)＝2lnt－－2单调递增 ∴j(t)＜j(1)＝－4＜0
∴h(x)＜－4＜0，故当0＜a＜时，g(x1)＋g(x2)＜0，不合题意，舍去．
②当0＜x＜1时，h(x)＝2lnx＋－2，∴h¢(x)＝－＝＜0，
∴h(x)在(0,1)上单调递减，∴h(x)＞h(1)＝0，故当＜a＜1时，g(x1)＋g(x2)＞0．
综上，a的取值范围为． ………16分
附加题
(考试时间：30分钟 总分：40分)
2021.10
21.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分)
已知矩阵
（1）求；
（2）满足AX＝二阶矩阵X
解：(1) ………5分
(2) ………10分
22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C所截得的弦长．
解：曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，圆心为(1，1)，半径为，(3分)
直线的直角坐标方程为x－y－＝0，(5分)
所以圆心到直线的距离为d＝＝，(8分)
所以弦长＝2＝.(10分)
23.（本小题满分10分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝AC＝4，AA1⊥平面ABC； AB⊥AC，
（1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．
解： （1）如图,以A为原点建立空间直角坐标系A－,
则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为,
则,即,
令,则,,所以.
同理可得,平面BB1C1的法向量为,
所以.
由题知二面角A1－BC1－B1为锐角,
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为. ………5分
（2）设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,,.
所以.
由,即.解得.
由于,所以在线段BC1上存在点D,
使得AD⊥A1B.
此时,. ………10分
24.（本小题满分10分)
（1）证明：①；②（其中）；
（2）某个竞赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，竞赛共设局，每局竞赛甲获胜的概率均为，首先赢满局者获胜（）.
①若，求甲获胜的概率；
②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）.
解：（1）①
……2分
②由① ……3分
（2）①若，甲获胜的概率 ……5分
②证明：设乙每一局获胜的概率为，则．
记在甲最终获胜的概率为，则
所以，
所以
即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分
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