江苏省扬州中学2022届高三上学期10月月考试题-数学(理)-Word版含答案.docx

江苏省扬州中学高三数学月考试卷2021.10数学 (满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合Mx|x1，Nx|lg(2x1)0，则MN (0,1) 2. 复数z为纯虚数，则实数a的值为 1 3. 不等式|x1|(2x1)0的解集为 x|x1或x4. 函数f (x)a（x0），则“f (1)1”是“函数f (x)为奇函数”的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）充要5. m为任意实数时，直线(m1)x(2m1)ym5必过定点_(9,4) 6. 向量a(1,2)、b(3,2)，若(kab)(a3b)，则实数k_由题意知，a与b不共线，故k11(3)，k7. 关于x的方程cos2x4sinxa0有解，则实数a的取值范围是 4,48. 已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_4解：x2y8x(2y)82，整理得(x2y)24(x2y)320，即(x2y4) (x2y8)0又x2y0，x2y4 9. 已知点x,y满足不等式组，若axy3恒成立，则实数a的取值范围是_(,310. 已知ABC是等边三角形，有一点D满足，且|，那么 311. 若函数f (x)mx2lnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_,)解：f (x)2mx20对x0恒成立，2mx212x02m，令t02mt22t，max1，2m1，m12. 已知函数f (x)，若x1, x2R，x1x2，使得f (x1)f (x2)成立，则实数a的取值范围是 (,4)13. 将ysin2x的图像向右平移单位（0），使得平移后的图像仍过点，则的最小值为_解法一：点代入ysin(2x2)sin(2)22k或22kk或k的最小值为解法二：结合函数ysin2x的图形14. 已知函数f (x)满足f (x)f ()，当x1,3时，f (x)lnx，若在区间,3内，函数g(x)f (x)ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ,二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分14分）已知直线和问：m为何值时，有：（1）；（2）解：（1），得或；当m4时，l1：6x7y50，l2：6x7y5,即l1与l2重合，故舍去当时，即当时，7分（2）由得或； 当或时，14分16. （本小题满分14分）已知函数f (x)sin(x) (0，0)，其图像经过点M，且与x轴两个相邻的交点的距离为（1）求f (x)的解析式；（2）在ABC中，a13，f (A)，f (B)，求ABC的面积解：（1）依题意知，T2，1，f (x)sin(x) f ()sin()，且0 即 f (x)sincosx 6分（2）f (A)cosA，f (B)cosB， A,B(0,) sinA，sinB 8分sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 10分在ABC中 b15. 12分SABCabsinC131584 14分17. （本小题满分15分）已知|a|3，|b|2，a与b的夹角为120，当k为何值时，（1）kab与akb垂直；（2）|ka2b|取得最小值？并求出最小值解：（1）kab与akb垂直，(kab)(akb)0ka2k2abbakb209k(k21)32cos1204k03k213k30k 7分（2）|ka2b|2k2a24kab4b29k24k32cos120449k212k16(3k2)212当k时，|ka2b|取得最小值为2 15分18. （本小题满分15分）如图，一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km（1）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km现打算利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值（2）如图，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB若DCE(0)，试用表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y的最小值解：（1）由已知可得ABC为等边三角形，ADCD，水下电缆的最短线路为CD.过D作DEAB于E，可知地下电缆的最短线路为DE、AB. 3分又CD1，DE，AB2，故该方案的总费用为14220.55 （万元） 6分（2）DCE (0)CEEB，EDtan，AEtan.则y42(tan)222 9分令f () (0)则f () ，11分0，0sin，记sin0，0(0,) 当00时，0sin，f ()0当0时，sin，f ()0f ()在0,0)上单调递减，在(0,上单调递增13分f ()minf (0)2，从而ymin42，此时EDtan0， 答：施工总费用的最小值为（42）万元，其中ED. 15分19. （本小题满分16分）已知a为实数，函数f (x)alnxx24x（1）是否存在实数a，使得f (x)在x1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f (x)在2, 3上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g(x)2alnxx25x，若存在x01, e，使得f (x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围解：（1）函数f (x)定义域为(0,)，f (x)2x4假设存在实数a，使f (x)在x1处取极值，则f (1)0，a2， 2分此时，f (x)，当0x1时，f (x)0，f (x)递增；当x1时，f (x)0，f (x)递增x1不是f (x)的极值点故不存在实数a，使得f (x)在x1处取极值 4分（2）f (x)，当a2时，f (x)0，f (x)在(0,)上递增，成立； 6分当a2时，令f (x)0，则x1或x1，f (x)在(1,)上递增，f (x)在2, 3上存在单调递增区间，13，解得：6a2综上，a6 10分（3）在1,e上存在一点x0，使得成立，即在1,e上存在一点，使得，即函数在1,e上的最小值小于零有 当，即时， 在上单调递减，所以的最小值为，由可得，由于，所以； 12分当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； 14分当，即时，可得最小值为，由于，所以， ，故 此时不存在使成立综上可得所求的范围是：或 16分解法二：由题意得，存在x1, e，使得a(lnx)x成立令m(x)lnx，m(x)在1, e上单调递增，且m(1)10, m(e)10故存在x1(1,e)，使得x1, x1)时，m(x)0；x(x1, e时，m(x)0故存在x1, x1)时，使得a成立，()或存在x(x1, e时，使得a成立，() 12分记函数F(x)，F (x)当1xe时，(x21)lnx(x1)2(x21)G(x)lnxlnx1递增，且G(e)0当1xe时，(x21)lnx(x1)20，即F (x)0F(x)在1, x1)上单调递减，在(x1, e上也是单调递减， 14分由条件()得：aF(x)maxF(1)2 由条件()得：aF(x)minF(e)综上可得，a或a2 16分20. （本小题满分16分）已知常数a0，函数f (x)ax34(1a)x，g(x)ln(ax1)（1）争辩f (x)在(0,)上的单调性；（2）若f (x)在上存在两个极值点x1、x2，且g(x1)g(x2)0，求实数a的取值范围解：（1）由题意可知：f (x)ax24(1a)当a1时，f (x)0，此时，f (x)在区间(0,)上单调递增 当0a1时，由f (x)0得：x1 （x20舍去）当x(0, x1)时，f (x)0；当x(x1,)时，f (x)0.故f (x)在区间(0, x1)上单调递减，在区间(x1,)上单调递增 综上所述，当a1时，f (x)在区间(0,)上单调递增；当0a1时，f (x)在区间(0, )上单调递减，在区间(,)上单调递增 6分（2）由（1）知，当a1时，f (x)0，此时f (x)不存在极值点，因而要使得f (x)有两个极值点，必有0a1. 又f (x)的极值点只可能是x1和x2，由g(x)的定义可知，x且x2，且x2解得：0a或a1 【定义域在这里很重要】 8分此时，由（*）式易知，x1, x2分别是f (x)的微小值点和极大值点而g(x1)g(x2)ln(ax11)(ax21)lna2x1x2a(x1x2)1ln(2a1)2ln(2a1)22 10分令x2a1，由0a且a知，当0a时，1x0；当a1时，0x1 ，记h(x)lnx22当1x0时，h(x)2ln(x)2，设tx(0,1)，j(t)2lnt2单调递增 j(t)j(1)40h(x)40，故当0a时，g(x1)g(x2)0，不合题意，舍去当0x1时，h(x)2lnx2，h(x)0，h(x)在(0,1)上单调递减，h(x)h(1)0，故当a1时，g(x1)g(x2)0综上，a的取值范围为 16分附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)2021.1021.（选修42：矩阵与变换）（本小题满分10分)已知矩阵（1）求；（2）满足AX二阶矩阵X解：(1) 5分 (2) 10分22（选修44：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C所截得的弦长解：曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y0，圆心为(1，1)，半径为，(3分)直线的直角坐标方程为xy0，(5分)所以圆心到直线的距离为d，(8分)所以弦长2.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA1AC4，AA1平面ABC； ABAC， （1）求二面角A1BC1B1的余弦值；（2）在线段BC1存在点D，使得ADA1B，求的值解： （1）如图,以A为原点建立空间直角坐标系A,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面A1BC1的法向量为,则,即, 令,则,所以. 同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1BC1B1为锐角,所以二面角A1BC1B1的余弦值为. 5分（2）设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,. 所以. 由,即.解得. 由于,所以在线段BC1上存在点D, 使得ADA1B. 此时,. 10分24.（本小题满分10分) （1）证明：；（其中）；（2）某个竞赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，竞赛共设局，每局竞赛甲获胜的概率均为，首先赢满局者获胜（）.若，求甲获胜的概率；证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）.解：（1） 2分由 3分（2）若，甲获胜的概率 5分证明：设乙每一局获胜的概率为，则记在甲最终获胜的概率为，则所以，所以即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大） 10分