高中数学(北师大版)必修四教案：2.7-易错辨析：平面向量应用.docx

平面对量应用易错辩析
运用向量学问解题常可收到化繁为简、化难为易的奇特功效，随着新教材的逐步实施，它已成为高考数学的新宠。但同学在初学这部分内容时，往往会消灭这样或那样的错误，现列举几种常见错误，以期起到防患于未然的作用。
一、忽视共线向量致误
例1、已知同一平面上的向量、、两两所成的角相等，并且，，，求向量的长度。
错解：易知、、皆为非零向量，设、、所成的角均为，则，即，所以，，同理，，由=3，故。
剖析：本例误以为、、皆为非共线向量，而当向量、、共线且同向时，所成的角也相等均为，符合题意。
正解：(1)当向量、、共线且同向时，所成的角均为,所以
；
(2)当向量、、不共线时，同错解.
综上所述, 向量的长度为6或。

二、忽视两向量夹角的意义致误
例2、正的边长为1，且，，，求的值。
错解：由于正的边长为1，所以，且，
所以，，同理可得，，
由=6，故。
剖析：本题误以为与的夹角为。事实上，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是，因此，与的夹角应为。
正解：作，与的夹角即与的夹角为，所以，，同理可得，，
由=0，故。

三、忽视充要条件致误
例3、已知，，设与的夹角为，要使为锐角，求的取值范围。
错解：由于为锐角，所以，由知，只须，即，即。
剖析：本题误以为两非零向量与的夹角为锐角的充要条件是，事实上，两向量的夹角，当时，有，对于非零向量与仍有，因此，是两非零向量与的夹角为锐角的必要不充分的条件。即有如下结论：两非零向量与的夹角为锐角的充要条件是且不平行于。
正解：由为锐角，得且，由，而、恒大于0，所以，，即；若平行则即，但若平行则或，与为锐角相冲突，所以；
综上，且。
四、忽视向量的特性致误
例4、已知、都是非零向量，且向量与垂直，向量与垂直，求向量与的夹角。
错解：由题意得，即 ，两式相减得，即，所以，（不合题意舍去）或，由知与同向，故向量与的夹角为。
剖析：本题误用实数的性质，即实数、若满足则必有或，但对于向量、若满足则不肯定有或，由于由知与有关，当时，恒成立，此时、均可以不为。
正解：由前知代入得，所以，，故。