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连云港市2022－2021学年度高三第三次调研考试数学试题参考答案
一.填空题
1.5; 2.{2}; 3.28; 4.4; 5.; 6.37;
7.; 8.; 9.; 10.;
11.; 12.; 13.; 14. .
二.解答题
15.解：（1），，· ……………………………………………………2分
，
……………………………………………………………………………………3分
，……………………………………………5分
由题意，
， ·……………………………………………………………7分
（2）由（1）知,,·……………………………………………………9分
由正弦定理得，· ………………………………………………11分
又， ………………………………………………………………………………12分
·………………………………………………………………14分
16．（1）∵平面，平面，
∴． 又∵//,．……………………………………………………………2分
在矩形中，， ………………4分
∵，平面
平面． …………………6分
（2）连AN交BD于F点，连接FM ………………………………………………………………………8分
∵//且
……………………10分
又AM=2ME // ……………………12分
又平面,平面
//平面. …………………………14分
17.（1）在Rt△PAE中，由题意可知，AP=8，则．
所以. ………………………………2分
同理在Rt△PBF中，，PB＝1,则,
所以. ………………………………4分
故△PAE与△PFB的面积之和为 ……………………5分
=8,
当且仅当,即时取等号,
故当AE=1km,BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小. …………………………………6分
(2)在Rt△PAE中，由题意可知，则．
同理在Rt△PBF中，，则．
令，， ……………8分
则， ………………………………10分
令，得，记，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以时，取得最小值， …………………………………………………12分
此时，．
所以当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．…………………………14分
18.（1）由题意，解得，
，椭圆方程为· ······4分
（2）解法一: ·······6分
直线方程为：，联立，得
所以到的距离
·······8分
直线方程为：，联立，得 ,
，
·······10分
·······12分
令,则
·········14分
当且仅当,即等号成立,
所以的最大值为. ·········16分
解法二:直线方程为：，
联立，得 ·······6分
直线方程为：，联立，得 ·········8分
······10分
····12分
令,则
·········14分
当且仅当,即等号成立
所以的最大值为. ·········16分
19.(1) 由于,当时,,解得. ……………1分
由,
当 ,
两式相减，得． ………………………………2分
又由于,所以，
所以,． ……………………………4分
由得，
所以． …………………………………6分
(2)由题意得，
所以
……………………………8分
所以 …………………………10分
故若为中的项只能为． …………………………11分
(Ⅰ)若,则,所以无解． ………………………12分
（Ⅱ）若
明显不符合题意，符合题意．
当时，即则
设则，
即为增函数，故，即为增函数
故故当时方程无解，即
是方程唯一解。 ……………………………………………15分
（Ⅲ）若则,即.
综上所述，或 ……………………………………………16分
20.(1)当a=-1时，f ¢(x)=x2-2x-1,所以函数f(x)在[0，1]上单调递减， …………………2分
由f (1)= ，即-1-1+b=,解得b=2. ………………………4分
(2) f ¢(x)=x2+2ax-1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=-a,
由于△=4a2+4>0，f ¢(x)=0有两个不等实根x1,2= ……………………5分
①当方程f ¢(x)=0在区间(a，+¥)上无实根时，有
解得． …………………………6分
②当方程f ¢(x)=0在区间与(a，+¥)上各有一个实根时，有
f ¢(a)<0，或，解得． …………………………8分
③当方程f ¢(x)=0在区间(a，+¥)上有两个实根时，有
解得.
综上:当时, f(x)在区间(a，+¥)上是单调增函数;
当时，f(x)在区间(a，)上是单调减函数，在区间(，+¥)上是单调增函数
当时，f(x)在区间(a,),(，+¥)上是单调增函数,在区间(,)上是单调减函数． …………………………10分
(3)设P(x1,f(x1)),则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1-1，
又设过P点的切线与曲线y=f(x)相切于点Q(x2,f(x2)),x1¹x2，则Q点处的切线方程为
y-f(x2)=( x22+2ax2-1)(x-x2),
所以f(x1)-f(x2)=( x22+2ax2-1)(x1-x2)，
化简，得x1+2x2=-3a． …………………………12分
由于两条切线相互垂直，所以(x12+2ax1-1)(x22+2ax2-1)= -1，
即(4x22+8ax2+3a2-1)(x22+2ax2-1)= -1．
令t= x22+2ax2-1³ -(a2+1)，则关于t的方程t(4t+3a2+3)= -1在tÎ上有解， ……14分
所以3a2+3=-4t-³4(当且仅当t=-时取等号)，
解得a2³,
故a的取值范围是 ……………………16分
A
B
C
D
E
O
G
21A.如图，连接DE，交BC于点G．
由弦切角定理，得． ……………………4分
而，故，所以． ……6分
又由于，所以DE为圆的直径，
所以，由勾股定理可得DB=DC． …………………10分
21B.解法一：
设上任意一点在矩阵所对应的变换作用下对应的点，则
， ……………………4分
由此得 ……………………6分
代入方程，得.
所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为． ………………10分
解法二：
……………………4分
设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点，则
，
其坐标变换公式为由此得 ……………………6分
代入方程，得.
所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为． ……………………10分
21C.解法一：将消去参数，得，
所以的一般方程为：． ……………………4分
将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程得：． ……………………6分
由解得或 ……………………8分
所以与交点的极坐标分别为或． ……………………10分
解法二：将消去参数，得，
所以的一般方程为：． ……………………4分
所以的极坐标方程为． ……………………6分
代入，得， …………………………8分
所以与交点的极坐标分别为或． ……………………10分
21D.证明：由于，所以. ①
同理. ② . ③ …………………4分
①②③相加得 …………………6分
从而.
由都是正数，得，因此. …………………10分
A
D
P
Q
B
C
（第22题）
x
z
y
22.解：取中点，连结，，则，，，
，，为直角三角形，，
平面. ······2分
以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，······3分
（1）设，
则
······5分
当时，长度最小值为······6分
（2）由（1）知，设平面的一个法向量为n=
由n,n得，化简得，取n
设与平面所成角为，则.
故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为.·····10分
23．(1)当n=3时,,
……………2分
当n=4时,,
. ……………………4分
(2)证明:由二项式定理得,
若为奇数,则
分析各项指数的奇偶性易知,可将上式表示为
的形式,其中,
也即,其中,,.………6分
若为偶数,则
类似地,可将上式表示为的形式,其中，
也即,其中,,.
所以存在，使得等式. …………8分
同理可得可表示为,
从而有
,
综上可知结论成立. …………10分
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