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二倍角公式
【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】5.若且，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
【学问点】同角三角函数基本关系，二倍角公式 C2 C6
【答案】【解析】A 解析：
或.又
得所以选A.
【思路点拨】找到与的结合点，也可利用
代入求解.
【数学文卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】12在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为__ __
【学问点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；正弦定理．C2C6 C8
【答案】【解析】 解析：由sinB＋cosB＝得1＋2sinBcosB＝2，即sin2B＝1，由于0<B<π，所以B＝.又由于a＝，b＝2，所以在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sinA＝.又a<b，所以A<B＝，所以A＝.
【思路点拨】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，依据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可．
C7 三角函数的求值、化简与证明
【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】17．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别是. 已知，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【学问点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．C7 C8
【答案】【解析】（1）；（2）
解析：（1）因，故. … ………2分
因，故. … ……………………4分
由正弦定理，得. ……………………6分
（2）. …………………8分
. … ……………10分
则的面积为. … …………………12分
【思路点拨】（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出b．（2）利用公式求得cosB,sinC的值，再利用三角形面积公式即可。
【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】16．（本小题满分12分）
已知向量，向量，函数.
(1)求的最小正周期；
(2)已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，，
且恰是在上的最大值，求，和的面积.
【学问点】三角函数中的恒等变换应用．C7
【答案】【解析】(1) ；(2) ，，
解析：(1)
………………3分
由于，所以 ……………………5分
(2) 由(1)知： 当时,
由正弦函数图象可知,当时取得最大值。 …………8分
所以, …………………9分
由余弦定理， ∴∴ ………10分
从而 ……………………12分
【思路点拨】(1) 首项利用向量的数量积求出三角函数的关系式，进一步利用恒等变换把函数转化成正弦型函数，最终求出最小正周期． (2) 利用(1)求出A的大小，再利用余弦定理求出b的长，最终求出三角形的面积．
【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】6. 若则（ ）
A. B． C. D．
【学问点】三角函数的恒等变换及化简求值．C7
【答案】【解析】C 解析：∵∴，,∴sin（），sin（）=
∴cos[（）﹣（）]=cos（）cos（）+sin（）sin（）=,故选C
【思路点拨】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（）和sin（）的值，进而利用cos[（）﹣（）]通过余弦的两角和公式求得答案．
C8 解三角形
【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】18. (本题满分12分)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，
且.
(Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)若的最大值．
【学问点】解三角形C8
【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)4
(Ⅰ)由a－2csin A＝0及正弦定理，得sin A－2sin Csin A＝0(sin A≠0)，
∴sin C＝，∵△ABC是锐角三角形，∴C＝
(Ⅱ)∵c＝2，C＝，由余弦定理，a2＋b2－2abcos ＝4，即a2＋b2－ab＝4
∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·2，即(a＋b)2≤16，
∴a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2取“＝”故a＋b的最大值是4.
【思路点拨】依据正限定求出角，依据余弦定理和均值不等式求出最大值。
【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】13. 在中，若，则角B= 。
【学问点】同角三角函数关系；余弦定理的应用. C2 C8
【答案】【解析】或 解析：把，代入已知等式得：，又，所以角B=或.
【思路点拨】把余弦定理、同角三角函数关系，代入已知等式得，又，所以角B=或.
【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】17．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别是. 已知，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【学问点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．C7 C8
【答案】【解析】（1）；（2）
解析：（1）因，故. … ………2分
因，故. … ……………………4分
由正弦定理，得. ……………………6分
（2）. …………………8分
. … ……………10分
则的面积为. … …………………12分
【思路点拨】（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出b．（2）利用公式求得cosB,sinC的值，再利用三角形面积公式即可。
【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】3. 在中,,则等于( )
A. B. C. D.
【学问点】正弦定理．C8
【答案】【解析】D 解析：由正弦定理有,为锐角,所以=.故选D.
【思路点拨】由正弦定理可求得，再由，可得为锐角，运算求得结果．
【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】18.(本小题满分12分）已知，其中，，且，若相邻两对称轴间的距离不小于。
（1）求的取值范围.
（2）在中，、、分别是角、、的对边，，，当最大时，,求的面积.
【学问点】三角函数的图象与性质解三角形C3 C8
【答案解析】（1）（2）
对称轴为， ∴
（1）由得 得
（2）由（1）知 ∴
∵ ∴ ∵ ∴
由得
∴
【思路点拨】依据三角函数的周期性求出参数范围，依据余弦定理求出边再求面积。
【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】6.在△ABC中，，若此三角形有两解，则b的范围为（ ）
A． B．b > 2 C．b<2 D．
【学问点】解三角形C8
【答案解析】A ∵在△ABC中，a=2，A=45°，且此三角形有两解，
∴由正弦定理=2，∴b=2sinA，B+C=180°-45°=135°，
由B有两个值，得到这两个值互补，
若B≤45°，则和B互补的角大于等于135°，这样A+B≥180°，不成立；
∴45°＜B＜135°，又若B=90，这样补角也是90°，一解，
∴＜sinB＜1，b=2sinB，则2＜b＜2，故选：A．
【思路点拨】利用正弦定理列出关系式，把a，sinA的值代入，表示出b，B+C，依据B为两值，得到两个值互补，确定出B的范围，进而求出sinB的范围，即可确定出b的范围．
【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】6、假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的外形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度打算
【学问点】余弦定理.C8
【答案】【解析】A 解析：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；
新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．
而（a+x）2+（b+x）2-（c+x）2=x2+2（a+b-c）x＞0，
由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A
【思路点拨】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后依据余弦定理推断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．
【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】10.设函数的定义域为，且，且对任意若是直角三角形的三边长，且也能成为三角形的三边长，则的最小值为 ( ) A. B. C. D.
【学问点】三角形的外形推断，函数的值 C8 B3
【答案】【解析】A 解析：不妨设为斜边，则 ， 由题意可得 即
即 所以选A.
【思路点拨】不妨设为斜边，则 ，可得 结合题意可得 ，结合可求的范围，进而可求的范围，即可求解.
【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】17.（12分）如图，海上有两个小岛相距10，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且．设。
（1）用分别表示和，并求出的取值范围；
（2）晚上小艇在处发出一道猛烈的光线照射A岛，B岛至光线的距离为，求BD的最大值．
【学问点】解三角形.C8
【答案】【解析】(1) (2) BD的最大值为10
解析：（1）在中，，，
由余弦定理得，，
又，所以 ①， ……1分
在中，，
由余弦定理得，
②， ………3分
①+②得，
①-②得，即， …………4分
又，所以，即，
又，即， 所以 ………………………6分
（2）易知，
故， ………………………8分
又，设， 所以， ……………………………9分
又 ……………………………10分
则在上是增函数，
所以的最大值为，即BD的最大值为10． ……………………12分
（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；假如直接说出 上是增函数，
【思路点拨】依据三角形边与角的关系，利用余弦定理和等面积法可求出结果
【数学文卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】18. (本题满分12分)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，
且.
(Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)若的最大值．
【学问点】解三角形C8
【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)4
(Ⅰ)由a－2csin A＝0及正弦定理，得sin A－2sin Csin A＝0(sin A≠0)，
∴sin C＝，∵△ABC是锐角三角形，∴C＝
(Ⅱ)∵c＝2，C＝，由余弦定理，a2＋b2－2abcos ＝4，即a2＋b2－ab＝4
∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·2，即(a＋b)2≤16，
∴a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2取“＝”故a＋b的最大值是4.
【思路点拨】依据正限定求出角，依据余弦定理和均值不等式求出最大值。
【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】17. （本小题满分12分） 已知函数,的最大值为2．
（Ⅰ）求函数在上的值域；
(Ⅱ)已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．
【学问点】三角函数；不等式；正弦定理.C4,C8,E1
【答案】【解析】(1) (2) 解析：（1）由题意，的最大值为，所以．………………………2分
而，于是，．…………………………………4分
在上递增．在 递减，
所以函数在上的值域为；…………………………………5分
（2）化简得 ．……7分
由正弦定理，得，……………………………………………9分
由于△ABC的外接圆半径为．．…………………………11分
所以 …………………………………………………………………12分
【思路点拨】依据题意求出解析式，再求出定义域下的值域，化简已知条件求出边的关系，再求出
【数学文卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】18. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，B＝，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．
(1)若△BCD的面积为，求CD的长；(2)若DE＝，求角A的大小．
【学问点】解三角形．C8
【答案】【解析】(1) ；(2) A＝。
解析：(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sin B＝，
又BC＝2，sin B＝，得BD＝.
在△BCD中，由余弦定理得
CD＝＝
＝.
所以CD的长为.
(2)(方法一)由于CD＝AD＝＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
又∠BDC＝2A，得＝，解得cos A＝，所以A＝即为所求．
(方法二)在△ABC中，
由正弦定理得＝，又由已知得，E为AC的中点，所以AC＝2AE，
所以AE·sin A＝sin B＝，又＝tan A＝，
所以AE·sin A＝DE·cos A＝cos A，得cos A＝，所以A＝即为所求
【思路点拨】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得＝，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．
【数学文卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】12在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为__ __
【学问点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；正弦定理．C2C6 C8
【答案】【解析】 解析：由sinB＋cosB＝得1＋2sinBcosB＝2，即sin2B＝1，由于0<B<π，所以B＝.又由于a＝，b＝2，所以在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sinA＝.又a<b，所以A<B＝，所以A＝.
【思路点拨】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，依据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可．
【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】18. （本小题满分12分）
在中，
（1）求角B （2）若，求的值
【学问点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数。C2 C5 C8
【答案】【解析】（1）；（2）
解析：（1） ……………2分
……………4分
……………6分
(2) ……………8分
……………10分
……………12分
【思路点拨】（1）原式由正弦定理可化简为从而由余弦定理可求得，从而可求角B；（2）若，可先求，的值，从而可求sinC的值．
【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】18. （本小题12分） 已知向量=（），=（,）,
,函数，其最小正周期为.
（1）求函数的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若=1，b=l，S△ABC=，求a的值．
【学问点】向量的数量积 三角函数的性质 解三角形F3 C3 C8
【答案】【解析】(1) ，单调递增区间为；
(2) .
解析：(1) 由于，由于最小正周期为，所以，得，所以，由,得，所以函数的单调递增区间为；
(2)由于，所以，则，得c=4，所以.
【思路点拨】一般争辩与三角相关的函数的性质通常先把函数化成一个角的三角函数再进行解答，再解三角形中可运用三角形面积公式及余弦定理进行解答.
【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】8. 若的三个内角A,B,C满足,则 ( )
A. 确定是锐角三角形 B. 确定是直角三角形
C. 确定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
【学问点】解三角形C8
【答案】【解析】C 解析：由于，由正弦定理得6a=4b=3c，则三角形最大的边为c，又cosC=，所以角C为钝角，则选C.
【思路点拨】遇到角的正弦关系，可利用正弦定理把角的关系转化为边的关系，在利用余弦定理推断角的范围.
【数学文卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】14. 在中，的对边分别为，若，则此三角形周长的最大值为________
【学问点】余弦定理 基本不等式C8 E1
【答案】【解析】解析：由余弦定理可得，整理可得，由不等式可得解得，故三角形周长的最大值为.
【思路点拨】依据已知由余弦定理可得，再由不等式可得，即可得到，进而求得三角形周长的最大值.
【数学文卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】14. 在中，的对边分别为，若，则此三角形周长的最大值为________
【学问点】余弦定理 基本不等式C8 E1
【答案】【解析】解析：由余弦定理可得，整理可得，由不等式可得解得，故三角形周长的最大值为.
【思路点拨】依据已知由余弦定理可得，再由不等式可得，即可得到，进而求得三角形周长的最大值.
【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】17.（12分）如图，海上有两个小岛相距10，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且．设。
（1）若，求出的取值；
（2）用分别表示和，并求出的取值范围.
【学问点】余弦定理；基本不等式；解不等式. C8 E3 E6
【答案】【解析】(1) ；（2），，.
解析：(1)设OB=m, 在△AOB中，由余弦定理得：（负值舍去），在△AOC中，由余弦定理得：x=.
（2）在中，，，
由余弦定理得，，
又，
所以 ①， ……7分
在中，，
由余弦定理得，
②， ………9分
①+②得，
①-②得，即，…………10分
又，所以，即，
又，即， 所以 ……………12分
【思路点拨】（1）依次在△AOB、△AOC中使用余弦定理，求得x值；（2）在△AOB、△AOC中使用余弦定理，得两个等式，这两个等式相加、相减，得用分别表示和的表达式.再由，，得x的取值范围.
C9 单元综合
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