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4.6 用牛顿运动定律解决问题（一）
交通警察在处理交通事故时，有时会依据汽车在路面上留下的刹车痕迹及汽车轮胎与地面的动摩擦因数，来推断发生事故前汽车是否超速．请同学们思考一下，如何应用运动学学问并结合牛顿运动定律来分析和推断呢？
利用牛顿运动定律来处理两类基本问题
1．求解两类动力学基本问题的示意图
2．应用牛顿运动定律的基本思路
(1)机敏选取争辩对象．
(2)将争辩对象提取出来，分析物体的受力状况并画受力示意图，分析物体的运动状况并画运动过程简图．
(3)利用牛顿其次定律或运动学公式求加速度．通常用正交分解法建立直角坐标系，并将有关矢量进行分解，取加速度的方向为正方向，题中各物理量的方向与规定的正方向相同时取正值，反之取负值．
(4)列出方程并求解，检查答案是否完整、合理．
两类问题的解题思路和步骤
1．由物体的受力状况确定运动状况
(1)基本思路：首先对争辩对象进行受力状况和运动状况分析，把题中所给的状况弄清楚，然后由牛顿其次定律，结合运动学公式进行求解．
(2)一般步骤
①确定争辩对象，对争辩对象进行受力分析，并画出物体的受力图．
②依据力的合成与分解，求出物体所受的合外力(包括大小和方向)．
③依据牛顿其次定律列方程，求出物体运动的加速度．
④结合物体运动的初始条件，选择运动学公式，求出所需的运动学量——任意时刻的位移和速度，以及运动轨迹等．
2．由物体的运动状况确定受力状况
(1)解题思路
从物体的运动状况入手，应用运动学公式求得物体的加速度，再应用牛顿其次定律求得所受的合力，进而求得所求力．
(2)解题步骤
①确定争辩对象．
②对争辩对象进行受力分析，并画出物体受力示意图．
③依据相应的运动学公式，求出物体的加速度．
④依据牛顿其次定律列方程求出物体所受的力．
⑤依据力的合成和分解方法，求出所需求解的力．
受力分析
1．受力分析的依据
(1)在受力分析时，只分析依据力的性质命名的力，一般不需要画出“合力”或“分力”的示意图．
(2)每分析一个力，应当可以找出该力的施力物体和该力对物体产生的效果，否则，该力的存在就值得考虑，如不要误认为物体在运动方向上确定受到力的作用．
(3)为使问题简化，常忽视某些次要的力，如物体在空中下落，忽视了空气阻力，轻杆、轻绳、轻滑轮等轻质物体的重力一般状况下不用考虑．
(4)受力分析时，有时还需结合物体的运动状态．
2．受力分析的方法
(1)明确争辩对象，即对谁进行受力分析．
(2)把要争辩的物体从四周物体中隔离出来．
(3)按挨次分析受力状况，画出力的示意图，其挨次为：重力、弹力、摩擦力、其他力．
整体法与隔离法处理连接体问题
1．连接体问题
所谓连接体就是指多个相互关联的物体，它们一般具有相同的运动状况(有相同的速度、加速度)，如：几个物体或叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆联系在一起的物体组(又叫物体系)．
2．隔离法与整体法
(1)隔离法：在求解系统内物体间的相互作用力时，从争辩的便利性动身，将物体系统中的某部分分隔出来，单独争辩的方法．
(2)整体法：整个系统或系统中的几个物体有共同的加速度，且不涉及相互作用时，将其作为一个整体争辩的方法．
3．对连接体的一般处理思路
(1)先隔离，后整体．
(2)先整体，后隔离.
一、由受力状况确定运动状况
例1 一木箱装货物后质量为50 kg，木箱与地面间的动摩擦因数为0.2，某人以200 N斜向下的力推箱，推力的方向与水平面成30°角，g取10 m/s2.求：
(1)木箱的加速度；
(2)第2 s末木箱的速度．
解析 取木箱为争辩对象，木箱受力状况如右图所示，其中F为推力，mg为重力，FN为支持力，Ff为滑动摩擦力．建立直角坐标系xOy，并取加速度a的方向为x轴的正方向．
(1)将推力F沿x轴和y轴两个方向进行分解得：
Fx=Fcos 30°，Fy=Fsin 30°
依据牛顿其次定律有
Fx合=Fx-Ff=ma
Fy合=FN-Fsin 30°-mg=0
又有Ff=μFN
联立解得：a=
代入数据得：a=1.06 m/s2.
(2)第2 s末速度为：v2=at=1.06×2 m/s=2.12 m/s.
答案 (1)1.06 m/s2 (2)2.12 m/s
二、由运动状况确定受力状况
例2 将质量为0.5 kg的小球以14 m/s的初速度竖直上抛，运动中球受到的空气阻力大小恒为2.1 N，则球能上升的最大高度是多少？
解析 通过对小球受力分析求出其上升的加速度及上升的最大高度．以小球为争辩对象，受力分析如右图所示．
在应用牛顿其次定律时通常默认合力方向为正方向，题目中求得的加速度为正值，而在运动学公式中
一般默认初速度方向为正方向，因而代入公式时由于加速度方向与初速度方向相反而代入负值．
依据牛顿其次定律得mg＋Ff＝ma，a＝＝ m/s2＝14 m/s2
上升至最大高度时末速度为0，由运动学公式0－v＝2ax
得最大高度x＝＝ m＝7 m.
答案 7 m
1．受力状况打算了运动的性质，物体具体的运动状况由所受合外力打算，同时还与物体运动的初始条件有关．
2．受力状况打算了加速度，但与速度没有任何关系.
四、整体法与隔离法的应用
图4－6－1
例3 如图4－6－1所示，物体A和B的质量分别为1 kg和4 kg，A与墙、A与B之间的动摩擦因数都是0.2，现用F等于150 N的水平力紧压在物体B上，墙面竖直，求A、B间的摩擦力和A、B的运动状态．(g取10 m/s2)
解析 经分析可知，A、B之间无相对滑动，设二者相同的加速度为a，以A、B为一整体，则由牛顿其次定律可得
(mA＋mB)g－FfA＝(mA＋mB)a①
又FfA＝μF②
由①②解得a＝4 m/s2，方向竖直向下．
隔离B，对B有
mBg－FfAB＝mBa即FfAB＝mB(g－a)＝24 N
即A、B之间的摩擦力为24 N，它们一起以4 m/s2的加速度向下做匀加速直线运动．
答案 见解析
1．如图4－6－2所示，重10 N的物体以速度v在粗糙的水平面上向左运动，物体与桌面间的动摩擦因数为0.1，现给物体施加水平向右的拉力F，其大小为20 N，则物体受到的摩擦力和加速度大小分别为(取g＝10 m/s2)( )
A．1 N 19 m/s2 B．0 20 m/s2
C．1 N 21 m/s2 D．条件不足，无法计算
答案 C
2．用30 N的水平外力F，拉一个静止在光滑水平面上的质量为20 kg的物体，力F作用3 s后消逝．则第5 s末物体的速度和加速度分别是( )
A．v＝4.5 m/s，a＝1.5 m/s2
B．v＝7.5 m/s，a＝1.5 m/s2
C．v＝4.5 m/s，a＝0
D．v＝7.5 m/s，a＝0
答案 C
解析 力F作用3 s时速度大小为4.5 m/s，而力F消逝后，其速度不再变化，物体加速度为零，故C正确．
图4－6－3
3．一光滑斜劈，在力F推动下向左匀加速运动，且斜劈上有一木块恰好与斜劈保持相对静止，如图4－6－3所示，则木块所受合力的方向为( )
A．水平向左 B．水平向右
C．沿斜面对下 D．沿斜面对上
答案 A
4．一间新居要盖屋顶，为了使下落的雨滴能够以最短的时间淌离屋顶，则所盖屋顶的顶角应为(设雨滴沿屋顶下淌时，可看作在光滑的斜坡上下滑)( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
答案 B
解析 因雨滴沿屋顶的运动过程中仅受重力和支持力作用，设其运动的加速度为a，屋顶的顶角为2α，则由牛顿其次定律易得a＝gcos α.
又因房屋的前后间距已定，设为2b，则雨滴滑动经过的屋顶面长度x＝b/sin α.
由x＝at2得t＝.
明显当α＝45°时对应的时间t最小，即屋顶的顶角应取90°.
5．如图4－6－4所示，小车质量为M，光滑小球P的质量为m，绳质量不计，水平地面光滑，要使小球P随车一起匀加速运动，则施于小车的水平作用力F是(θ已知)( )
A．mgtan θ B．(M＋m)gtan θ
C．(M＋m)gcot θ D．(M＋m)gsin θ
答案 B
解析 对小球受力分析如右图所示，则mgtan θ=ma，所以a=gtan θ.对整体F=(M+m)a=(M+m)gtan θ
6．质量为60 kg的物体以4 m/s的速度竖直匀速下降，若向上的力突然变为630 N，并持续2 s，则这2 s内物体下落的高度是多少？(g取10 m/s2)
答案 7 m
解析 此题属于牛顿运动定律应用的第一类问题，即知道物体的受力状况，求物体的运动状况(运动位移)．
物体做匀速直线运动过程中受两个力的作用，如右图甲所示，F与重力mg是一对平衡力．
F=mg=60×10 N=600 N.
当向上的力突然变为F′=630 N时，如图乙所示，由于F′>mg，因此物体的合力方向向上，则由牛顿其次定律可知，物体的加速度必定向上，所以物体将做匀减速直线运动．
选物体为争辩对象，取物体运动的方向为正方向，设物体做匀速直线运动的速度为v0.
物体在减速运动中，合力ΣF=F′-mg，则由牛顿其次定律可得
a== m/s2=0.5 m/s2.
其方向竖直向上．
物体的初速度方向向下，加速度方向向上，则物体做匀减速直线运动，由运动学公式得
x=v0t-at2=4×2 m-×0.5×22 m=7 m.
即这2 s内物体下降的高度为7 m.
7．一辆质量为1.0×103 kg的汽车，经过10 s由静止加速到速度为108 km/h后匀速前进．求：
(1)汽车受到的合力．
(2)假如关闭汽车发动机油门并刹车，设汽车受到的阻力为6.0×103 N，求汽车由108 km/h到停下来所用的时间和所通过的路程．
答案 (1)3.0×103 N (2)5 s 75 m
解析 汽车运动过程如下图所示．
(1)由v=v0+at得
加速度a== m/s2=3 m/s2.
由F=ma知
汽车受到的合力F=1.0×103×3 N=3.0×103 N.
(2)汽车刹车时，由F=ma知
加速度大小a′== m/s2=6 m/s2.
据v=v0+at知刹车时间t== s=5 s.
由x=t知
刹车路程x=×5 m=75 m.
8．在宇航训练程序中，一位80 kg的宇航员被绑在一个质量为220 kg的火箭运载器内，这个运载器被平安放在一条无摩擦的长轨道上，开动火箭发动机使之很快地加速运载器，然后马达制动运载器，v－t图象如图4－6－5所示．设喷射燃料的质量和运载器的质量比较可以忽视．
(1)计算向前的推力多大；
(2)计算施加在运载器上的制动力；
(3)计算沿导轨运行的路程．
答案 (1)1.5×104 N (2)7.5×103 N (3)1 000 m
解析 (1)由v－t图知，a＝＝50 m/s2，由F＝(M＋m)a，得F＝1.5×104 N
(2)由v－t图知，9 s～13 s马达制动减速，加速度大小
a′＝＝25 m/s2
则制动力大小F′＝(M＋m)a′＝7.5×103 N
(3)路程x等于v－t图象与t轴所围面积大小：x＝1 000 m
由受力状况确定运动状况
图4－6－1
例1 如图4－6－1所示，在倾角θ＝37°的足够长的固定的斜面底端有一质量m＝1 kg的物体，物体与斜面间动摩擦因数μ＝0.25.现用轻细绳将物体由静止沿斜面对上拉动，拉力F＝10 N，方向平行斜面对上，经时间t＝4 s绳子突然断了，求：
(1)绳断时物体的速度大小．
(2)从绳子断了开头到物体再返回到斜面底端的运动时间．(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g＝10 m/s2)
答案 (1)8 m/s (2)4.2 s
解析 (1)物体受拉力向上运动过程中，受拉力F、斜面的支持力FN、重力mg和摩擦力Ff，如右图所示，设物体向上运
动的加速度为a1，依据牛顿其次定律有：
F-mgsin θ-Ff=ma1
因Ff=μFN，FN=mgcos θ
解得a1=2 m/s2
t=4 s时物体的速度大小为v1=a1t=8 m/s.
(2)绳断时物体距斜面底端的位移x1=a1t2=16 m
绳断后物体沿斜面对上做匀减速直线运动，设运动的加速度大小为a2，受力如上图所示，则依据牛顿其次定律，对物体沿斜面对上运动的过程有
mgsin θ+Ff=ma2
Ff=μmgcos θ
解得a2=8 m/s2
物体做减速运动的时间t2==1 s
减速运动的位移x2==4.0 m
此后物体将沿着斜面匀加速下滑，设物体下滑的加速度为a3，受力如右图所示，依据牛顿其次定律对物体加速下滑的过程有
mgsin θ-Ff=ma3
Ff=μmgcos θ
解得a3=4 m/s2
设物体由最高点到斜面底端的时间为t3，所以物体向下匀加速运动的位移：x1+x2=a3t
解得t3= s≈3.2 s
所以物体返回到斜面底端的时间为t总=t2+t3=4.2 s
1．物体的运动状况是由受力状况和初始状态共同打算的，假如无法确定物体的初始状态，也就不能正确推断物体的运动状况．
2．分析动力学问题时，要留意区分加速度方向和速度方向．
3．运动和受力紧密联系，受力变，运动状况也变，反之亦如此.
由运动状况确定受力状况
例2 民用航空客机的机舱除通常的舱门外还设有紧急出口，发生意外状况的飞机在着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊组成的斜面，机舱中的乘客就可以沿斜面快速滑行到地面上来．若某型号的客机紧急出口离地面高度为4 m，构成斜面的气囊长度为5 m．要求紧急疏散时乘客从气囊上由静止下滑到达地面的时间不超过2 s，则
(1)乘客在气囊上下滑的加速度至少为多大？
(2)气囊和下滑乘客间的动摩擦因数不得超过多少？(g＝10 m/s2)
答案 (1)2.5 m/s2 (2)
连接体问题(涉及临界问题、整体与隔离法的
应用)
例3 如图4－6－2所示，在光滑的水平面上有一个质量mC
＝4 kg的小车C，物体A和B通过车上的滑轮用细绳相连．它们的质量分别为mA＝6 kg，mB＝1 kg，A与C之间的动摩擦因数μ＝，两者之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其余摩擦不计，在物体B上作用一个水平恒力可以使三者一起向左做匀加速运动，g取10 m/s2，试求力F的最大值和加速度的最大值．
答案 20.7 N 1.88 m/s2
解析 由于A、B、C三者一起向左做匀加速运动，说明三者具有相同的加速度，因此可以把三者看作一个系统，作为一个整体来争辩，这个整体的质量等于各物体质量之和，整体在水平方向上所受的外力为F，依据牛顿其次定律即可求出整体的加速度．再隔离A和B分别进行受力分析，即可求出外力F，明显当F最大时，加速度a也最大，此时A刚刚要开头滑动．
设整体运动的最大加速度为a，视A、B、C为一系统，则系统在水平方向上由牛顿其次定律可得
F＝(mA＋mB＋mC)a①
隔离A和B，分别对A、B进行受力分析，如下图所示．
对于A由牛顿其次定律可得
FT－μmAg＝mAa.②
对于B进行正交分解，由牛顿其次定律得
FTcos θ－mBg＝0③
F－FTsin θ＝mBa④
由①④两式可得
FTsin θ＝(mA＋mC)a⑤
由③⑤两式可得：FT＝⑥
由②⑥两式可得：a＝g＝ m/s2＝1.88 m/s2
则F＝(mA＋mB＋mC)a＝11a＝20.7 N
1．连接体：两个(或两个以上)物体相互连接在一起，在外力作用下运动的系统称为连接体．
2．方法
解决连接体有关问题时通常选择整体法和隔离法．一般状况下，求系统内力或加速度时，可选隔离法，求系统外力或加速度时，可选整体法，整体法和隔离法是相对统一、相辅相成的．在解决原来单用隔离法就可以解决的问题时，假如把这两种方法交叉使用，则问题处理起来将更为简捷．
3．当系统中各物体具有相同的加速度，要求系统中某两物体间的作用力时，往往先用整体法求出加速度，再用隔离法求出物体间的相互作用力，即先整体，再隔离．留意隔离时应分析受力少的物体．整体法和隔离法是物理学中的基本方法之一.
1.假设汽车突然紧急制动后所受阻力的大小与汽车所受的重力的大小差不多，当汽车以20 m/s的速度行驶时突然制动，它还能连续滑行的距离约为( )
A．40 m B．20 m C．10 m D．5 m
答案 B
2．放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系和物块速度v与时间t的关系如图4－6－3所示．取重力加速度g＝10 m/s2.由此两图线可以求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数μ分别为( )
A．m＝0.5 kg，μ＝0.4 B．m＝1.5 kg，μ＝0.4
C．m＝0.5 kg，μ＝0.2 D．m＝1 kg，μ＝0.2
答案 A
图4－6－4
3．如图4－6－4表示某小球所受的合力与时间的关系，各段的合力大小相同，作用时间相同，设小球从静止开头运动．由此可判定( )
A．小球向前运动，再返回停止
B．小球向前运动，再返回不会停止
C．小球始终向前运动
D．小球向前运动一段时间后停止
答案 C
解析 由F－t图象知：第1 s，F向前；第2 s，F向后．以后重复该变化，所以小球先加速1 s，再减速1 s,2 s末速度刚好减为零，以后重复该过程，所以小球始终向前运动．
4．利用传感器和计算机可以争辩快速变化的力的大小．试验时让某消防队员从一平台上跌落，自由下落2 m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了0.5 m，最终停止．用这种方法获得消防队员受到地面冲击力随时间变化的图线如图4－6－5所示，依据图线所供应的信息，以下推断正确的是( )
A．t1时刻消防员的速度最大
B．t2时刻消防员的速度最大
C．t3时刻消防员的速度最大
D．t4时刻消防员的加速度最小
答案 BD
解析 由图象可推断消防队员的运动过程，t1时刻刚产生地面的冲击力，说明此时消防员刚落地；此后由于地面的冲击力小于重力，所以合力向下，消防员连续加速运动；t2时刻消防员受到的冲击力和重力大小相等而平衡，加速度为零，速度达到最大；此后由于冲击力大于重力，合力向上，所以消防员开头做减速运动，t3时刻速度减为零；t4时刻消防员站稳．
5．两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图4－6－6所示，滑块A、B的质量分别为M、m，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2，已知两滑
图4－6－6
块都从静止开头以相同的加速度沿斜面滑下，滑块B受到的摩擦力( )
A．等于零 B．方向沿斜面对上
C．大小等于μ1mgcos θ D．大小等于μ2mgcos θ
答案 BC
解析 把A、B两滑块作为一个整体，设其下滑的加速度为a.由牛顿其次定律得
(M＋m)gsin θ－μ1(M＋m)gcos θ＝(M＋m)a
解得a＝g(sin θ－μ1cos θ)
由于a<gsin θ，可见B随A一起下滑过程中，必定受到A对它沿斜面对上的摩擦力，设摩擦力为FfB，如右图所示，由牛顿其次定律得
mgsin θ-FfB=ma
解得FfB=mgsin θ-ma=mgsin θ-mg(sin θ-μ1cos θ)=μ1mgcos θ
故本题答案为B、C.
图4－6－7
6．如图4－6－7所示，在水平地面上有一个质量为5 kg的物体，它受到与水平方向成53°角斜向上的25 N的拉力时，恰好做匀速直线运动，g取10 m/s2，问：当拉力为50 N时，物体的加速度多大？2 s末物体的位移多大？
答案 5 m/s2 10 m
解析 由题意知，物体受力如下图甲所示，由牛顿其次定律可得：
F1cos 53°＝Ff1①
FN＋F1sin 53°＝mg②
Ff1＝μFN③
由①②③式得
μ＝＝＝0.5
当拉力F2＝50 N时，物体受力如乙图所示，由牛顿其次定律得：
F2cos 53°－Ff2＝ma④
FN′＋F2sin 53°－mg＝0⑤
Ff2＝μFN′⑥
由④⑤⑥式得：
a＝＝5 m/s2.
2 s内位移x＝at2＝10 m.
图4－6－8
7．如图4－6－8所示，斜面是光滑的，一个质量是0.2 kg的小球用细线吊在倾角为53°的斜面顶端，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以8 m/s2的加速度向右做匀加速运动时，求绳子拉力大小及斜面对小球的弹力大小．(g取10 m/s2)
答案 2.56 N 0
解析 设小球刚好离开斜面时系统的加速度为a0，斜面弹力FN=0，此时小球受力如右图所示，则有：mgcot 53°=ma0
a0=gcot 53°=7.5 m/s2
由于a=8 m/s2>a0
所以此时小球已离开斜面，则FN=0，
FT==2.56 N.
图4－6－9
8．如图4－6－9所示是世界上第一列投入商业运行的上海磁悬浮列车，运行路程31.5 km，最高速度可达430 km/h(即119.4 m/s)，走完全程只需8 min，它是靠磁体间相互作用浮离轨道约15 cm，被誉为“飞”起来的交通工具，依据车厢内显示屏上显示的时刻和速度值，整理后如下表所示(从启动至中途)
t/s
0
8
23
35
55
83
v/(m·s－1)
0
5.3
19.7
28.3
41.9
56.4
t/s
130
189
311
217
226
240
v/(m·s－1)
85.0
111.1
119.4
119.4
119.4
117.0
假设列车的总质量为3×104 kg，列车以较高速度运行时仅受空气阻力作用，且空气阻力与速度的平方成正比，即F阻＝kv2，式中k＝2 kg/m.
(1)在图4－6－10中画出列车在0～240 s内的v－t图象．
图4－6－10
(2)估算列车在以最大速度运行时的牵引力．
(3)估算100 s这一时刻，列车牵引力．
答案 (1)见解析图 (2)2.85×104 N (3)2.73×104 N
解析 (1)如下图所示
(2)最大速度运行时接近匀速直线运动，由平衡条件可得
F=F阻=kv2=2×(119.4)2 N=2.85×104 N
(3)100 s时瞬时速度约为67 m/s，此时图象近似直线，列车做匀加速直线运动，加速度a= m/s2=0.61 m/s2，此时阻力为F阻，牵引力为F，依据牛顿其次定律，得
F-F阻=ma，即
F=ma+kv2=(3×104×0.61+2×672) N=2.73×104 N
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