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[随堂演练]
1．(2021年高考上海卷)秋千的吊绳有些磨损．在摇摆过程中，吊绳最简洁断裂的时候是秋千( )
A．在下摆过程中 B．在上摆过程中
C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
解析：如图所示，由F－mgcos θ＝m.当运动到最低点时，速度最大，cos θ最大，拉力F＝mg＋m最大，D正确．
答案：D
2．如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，大轮半径是小轮半径的2倍，A、B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点，则( )
A．两轮转动的角速度相等
B．小轮转动的角速度是大轮的2倍
C．质点加速度 aA＝2aB
D．质点加速度aB＝2aC
解析：两轮不打滑，边缘质点线速度大小相等，vA＝vB，而rA＝2rB，故ωA＝ωB，A错误，B正确；由a＝得＝＝，C错误；由a＝ω2r，得＝＝2，则＝4，D错误．
答案：B
3．质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平回旋，如图所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为( )
A．m B．mg
C．m D．m
解析：飞机在空中水平回旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力供应向心力F向＝m.飞机受力状况示意图如图所示，依据勾股定律得：F＝＝m.
答案：C
4．(2021年高考全国新课标卷Ⅱ改编)大路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某大路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向大路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处( )
A．路面外侧低内侧高
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
解析：汽车转弯时，指向圆心的合力供应向心力，当汽车恰好没有沿侧向的滑动趋势时，支持力和重力的合力供应向心力．如图所示，
此时FNsin θ＝m，FNcos θ＝mg，A错误．当v<vc时，FN减小，汽车有向内侧滑动的趋势，摩擦力沿斜面对上，但不愿定滑动，B不正确．当v>vc时，汽车有向外滑动的趋势，只有不超过最大静摩擦力，车辆便不会滑动，C正确．当v＝vc时，由于不受摩擦力，故不论是否结冰，vc都不变，D错．
答案：C
[限时检测]
(时间：45分钟，满分：100分)
[命题报告·老师用书独具]
学问点
题号
离心现象
2
向心力公式的应用
1、3、4、9
水平面内的圆周运动
5、8、10
圆周运动的临界问题
11
竖直面内的圆周运动
6、7
圆周运动与其他力学规律的综合应用
12
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分，每小题只有一个选项正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内)
1．全国铁路大面积提速后，京哈、京沪、京广、胶济等提速干线的部分区段时速可达300公里，我们从济南到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300公里的追风感觉．火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是( )
①适当减小内外轨的高度差 ②适当增加内外轨的高度差 ③适当减小弯道半径 ④适当增大弯道半径
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，依据牛顿其次定律有mgtan α＝m，解得v＝，所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增大角α(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径r.
答案：D
2．在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型内壁，产生次品．已知管状模型内壁半径R，则管状模型转动的最低角速度ω为( )
A. B.
C. D．2
解析：最易脱离模型内壁的位置在最高点，转动的最低角速度ω对应铁水在最高点受内壁的作用力为零，即mg＝mω2R，得：ω＝，A正确．
答案：A
3．如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，则杆的上端受到小球对其作用力的大小为( )
A．mω2R B．m
C．m D．条件不足，不能确定
解析：对小球进行受力分析，小球受重力和杆对小球的作用力，合力供应向心力，由题意知，小球所受合力在水平方向，合力大小为mω2R，即重力和杆对球的作用力的合力在水平方向，大小为mω2R，依据力的合成得F＝m .
答案：B
4．长度不同的两根细绳悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内做圆锥摆运动，如图所示，则有关两个圆锥摆的物理量相同的是( )
A．周期 B．线速度的大小
C．向心力 D．绳的拉力
解析：设O到小球所在水平面的距离为h，对球进行受力分析如图所示，得F向＝F合＝mgtan α＝mhtan α，解得T＝ ，故周期与α角无关，则选项A对，B、C错．又知F拉＝，故绳的拉力不同，选项D错．
答案：A
5．在光滑的水平桌面上，有两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示．当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离是( )
A. B.
C. D.
解析：设杆转动的角速度为ω，转轴O到小球2的距离为r2，则有：v1＝ω(L－r2)，v2＝ωr2，解得：r2＝，故B正确．
答案：B
6．(2022年高考广东理综卷改编)如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )
A．N小于滑块重力，且N越大表明h越大
B．N大于滑块重力，且N越大表明h越小
C．N大于滑块重力，且N越大表明h越大
D．N小于滑块重力，且N越大表明h越小
解析：设滑块质量为m，在B点所受支持力为FN，圆弧半径为R，所需向心力为F.滑块从高度h处由静止下滑至B点过程中，由机械能守恒定律有mv＝mgh，在B点滑块所需向心力由合力供应，得FN－mg＝m，由牛顿第三定律知，传感器示数N等于FN，解得N＝mg＋，由此式知N>mg且h越大，N越大，选项C正确．
答案：C
7．如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小的多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应满足(g＝10 m/s2)( )
①v0≥0 ②v0≥4 m/s ③v0≥2 m/s ④v0≤2 m/s
A．①④ B．②④
C．③④ D．②③
解析：解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种状况：(1)小球通过最高点并完成圆周运动；(2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道．
对于第(1)种状况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤mv2/r，又依据机械能守恒定律有mv2/2＋2mgr＝mv/2，可求得v0≥2 m/s；对于第(2)种状况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，依据机械能守恒定律有mgr＝mv/2，可求得v0≤2 m/s，故选项C正确．
答案：C
8．如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．b、c两点的线速度始终相同
C．b、c两点的角速度比a点的大
D．b、c两点的加速度比a点的大
解析：当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a、b和c三点的角速度相同，a半径小，线速度要比b、c的小，A、C错；b、c两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B错；由a＝ω2r可得b、c两点的加速度比a点的大，D对．
答案：D
9．如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，小球在斜面上做圆周运动，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是( )
A．2 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．2 m/s
解析：小球通过最高点的最小速度应满足mgsin α＝，则有vA＝＝2 m/s
由最高点到最低点依据机械能守恒定律得：
mv＝mv＋mg·2Lsin α
解得：vB＝2 m/s，选项C正确．
答案：C
10．(2021年高考江苏卷)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
解析：A球和B球转动的角速度相等，A球转动半径小于B球半径，故A的速度小于B的速度，选项A错误；由a＝ω2r知，A球的向心加速度小于B球的向心加速度，选项B错误；设缆绳与竖直方向夹角为θ，由向心力公式mgtan θ＝mω2r，tan θ＝，转动半径不相等，夹角θ也不相等，选项C错误；缆绳拉力F＝＝mg，将tan θ＝代入可知，r越小，缆绳拉力越小，选项D正确．
答案：D
二、非选择题(本题共2小题，共30分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，有数值计算的要注明单位)
11．(15分)如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r＝20 cm处放置一小物块A，其质量为m＝2 kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍(k＝0.5)．
(1)当圆盘转动的角速度ω＝2 rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？
(2)欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？(取g＝10 m/s2)
解析：(1)物块随圆盘一起绕轴转动，需要向心力，而竖直方向物块受到的重力mg、支持力FN不行能供应向心力，向心力只能来源于圆盘对物块的静摩擦力．依据牛顿其次定律可求出物块受到的静摩擦力的大小
Ff＝F向＝mω2r＝1.6 N，方向沿半径指向圆心．
(2)欲使物块与盘面不发生相对滑动，做圆周运动的向心力应不大于最大静摩擦力
所以F向＝mrω≤kmg解得ωmax≤＝5 rad/s.
答案：(1)1.6 N 方向沿半径指向圆心 (2)5 rad/s
12．(15分)(2021年高考福建理综卷)如图，一不行伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小．
解析：(1)小球从A到B过程机械能守恒，有
mgh＝mv①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2②
在水平方向上有
s＝vBt③
由①②③式解得s＝1.41 m④
(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力供应向心力，有
F－mg＝m⑤
由①⑤式解得F＝20 N
依据牛顿第三定律
F′＝－F
轻绳所受的最大拉力为20 N.
答案：(1)1.41 m (2)20 N
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