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单元评估检测(六)
第六章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021·大庆模拟)若a<b<0,则下列不等式不成立的是( )
A.1a-b>1a B.1a>1b
C.|a|>|b| D.a2>b2
【解析】选A.特值法:令a=-2,b=-1,代入可知A不成立.
2.(2021·湖北八校联考)不等式组(x-y+3)(x+y)≥0,0≤x≤4表示的平面区域
是( )
A.矩形 B.三角形
C.直角梯形 D.等腰梯形
【解析】选D.由(x-y+3)(x+y)≥0,得x-y+3≥0,x+y≥0或x-y+3≤0,x+y≤0,且0≤x≤4,故所求平面区域为等腰梯形.
3.已知集合A={x|y=lg(x+3)},B={x|x≥2},则A∩B=( )
A.(-3,2] B.(-3,+∞)
C.[2,+∞) D.[-3,+∞)
【解析】选C.由y=lg(x+3),得到x+3>0,即x>-3,
所以A=(-3,+∞),
由于B=[2,+∞),所以A∩B=[2,+∞).故选C.
4.(2021·广州模拟)将正偶数2,4,6,8,…,按表的方式进行排列,记aij表示第i行第j列的数,若aij=2022,则i+j的值为( )
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
第4行
32
30
28
26
第5行
34
36
38
40
…
…
…
…
…
…
A.257 B.256 C.254 D.253
【解析】选C.由于2022=16×125+2×7,2022=8×252-2,
所以可以看作是125×2行,再从251行数7个数,也可以看作252行再去掉2个数,也就是2022在第252行第2列.
即i=252,j=2,所以i+j=252+2=254.故选C.
5.(2021·铜川模拟)若变量x,y满足约束条件y≤2x,x+y≤1,y≥-1则z=x+2y的最大值
为( )
A.-52 B.0 C.53 D.52
【解析】选C.依据x,y满足约束条件y≤2x,x+y≤1,y≥-1画出线性区域如图:
则线性目标函数z=x+2y过A13,23时有最大值,最大值为53.
6.(2021·昆明模拟)已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是
(-∞,-1)∪-12,+∞,则a=( )
A.2 B.-2 C.-12 D.12
【解析】选B.依据不等式与对应方程的关系知-1,-12是一元二次方程ax2+x(a-1)-1=0的两个根,所以-1×-12=-1a,所以a=-2,故选B.
7.已知关于x的方程x2+2px+(2-q2)=0(p,q∈R)有两个相等的实数根,则p+q的取值范围是( )
A.[-2,2] B.(-2,2)
C.[-2,2] D.(-2,2)
【解题提示】利用Δ=0,得到p,q的关系,再利用基本不等式的变形公式求得p+q的范围.
【解析】选A.由题意知4p2-4(2-q2)=0,即p2+q2=2,
由于p+q22≤p2+q22=1,
所以-1≤p+q2≤1,即-2≤p+q≤2,故选A.
8.(2021·威海模拟)设实数x,y满足y≥-2x,y≥x,y+x≤4,则z=y-4|x|的取值范围是( )
A.[-8,-6] B.[-8,4]
C.[-8,0] D.[-6,0]
【解析】选B.满足不等式组的可行域如图所示,
由题意可知A(2,2),B(-4,8),O(0,0),
由直线x+y=4与y轴交点坐标为(0,4),
当x≥0时,z=y-4x,明显经过点(0,4)时最大为4,经过点A时最小为-6,
当x<0时,z=y+4x,明显动直线经过点(0,4)时目标函数取得最大值4,
当动直线经过点B时目标函数取得最小值为-8,
所以z=y-4|x|的取值范围是[-8,4],故选B.
9.(2021·六盘水模拟)若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则2a+1b的最小值是( )
A.2-2 B.2-1 C.3+22 D.3-22
【解题提示】先利用已知条件确定出a,b的关系,再用均值不等式求最小值.
【解析】选C.由x2+y2-2x-4y-6=0得
(x-1)2+(y-2)2=11,
若直线2ax+by-2=0平分圆,
则2a+2b-2=0,即a+b=1,
所以2a+1b=2(a+b)a+a+bb=3+2ba+ab
≥3+22·ba·ab=3+22,
当且仅当2ba=ab,且a+b=1,即a=2-2,b=2-1时取等号.
10.(2021·郑州模拟)设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2-x)+f(x)=0恒成立,假照实数m,n满足不等式组f(m2-6m+23)+f(n2-8n)<0,m>3,则m2+n2的取值范围是( )
A.(3,7) B.(9,25)
C.(13, 49) D.(9,49)
【解题提示】由已知不等式组得到m,n的不等式组,利用线性规划解得取值范围.
【解析】选C.依题意得-f(n2-8n)=f(2-n2+8n),于是题中的不等式组等价于f(m2-6m+23)<f(2-n2+8n),m>3.
又函数f(x)是R上的增函数,所以上述不等式组等价于m2-6m+23<2-n2+8n,m>3,
即(m-3)2+(n-4)2<4,m>3.留意到m2+n2=m2+n22可视为动点(m,n)与原点间的距离的平方,因此问题可转化为不等式组(m-3)2+(n-4)2<4,m>3表示的平面区域内的全部的点(m,n)与原点间的距离的平方的取值范围,该不等式组表示的平面区域是如图所示的半圆及直线m=3所围成的区域(不含边界),结合图象不难得知,平面区域内的全部的点与原点间的距离的平方应大于原点与点(3,2)间的距离的平方,应小于原点与点(3,4)间的距离再加上2的和的平方,即当m>3时,m2+n2的取值范围是(13,49).
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2021·衡阳模拟)已知点C在直线AB上运动,O为平面上任意一点,且OC→=xOA→+4yOB→(x,y∈R+),则x·y的最大值是 .
【解析】由题易知x+4y=1,xy=14x·4y
≤14x+4y22=116,当且仅当x=4y=12时取等号.
答案:116
12.(2021·北京模拟)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= .
【解析】该公司一年购买货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买400x次,又运费为4万元/次,所以一年的总运费为400x·4万元,又一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用之和为400x·4+4x(万元),400x·4+4x≥160,当1 600x=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
答案:20
13.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为 .
【解析】由值域为[0,+∞),当x2+ax+b=0时有Δ=a2-4b=0,即b=a24,所以f(x)=x2+ax+b=x2+ax+a24=x+a22,所以f(x)=x+a22<c,
解得-c<x+a2<c,-c-a2<x<c-a2.
由于不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),
所以c-a2--c-a2=2c=6,解得c=9.
答案:9
14.(2021·芜湖模拟)定义在R上的运算⊕:x⊕y=x-52-y,若关于x的不等式
x⊕(x+3-a)>0的解集为A,B=[-3,3],若A∩B=,则a的取值范围是 .
【解析】由于x⊕y=x-52-y,由x⊕(x+3-a)>0,
得x-52-(x+3-a)>0,即(x-5)[x-(a-1)]<0;
当a-1>5,即a>6时,A=(5,a-1),符合A∩B=,故a>6成立;
当a-1=5即a=6时,(x-5)2<0,A=,符合A∩B=,故a=6成立;
当a-1<5,即a<6时,A= (a-1,5),
由A∩B=,得a-1≥3即a≥4,
故4≤a<6,综上:a≥4.
答案:a≥4
15.(2021·福州模拟)对于30个互异的实数,可以排成m行n列矩形数阵,如图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一.将30个互异的实数排成m行n列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为a1,a2,…,am,并设其中最小的数为a;把每列中最小的数选出,记为b1,b2,…,bn,并设其中最大的数为b.
两位同学通过各自的探究,得出结论如下:
①a和b必相等; ②a和b可能相等;
③a可能大于b; ④b可能大于a.
以上四个结论中,正确结论的序号是 (请写出全部正确结论的序号).
【解析】由题意可得a的值最小为6,最大为30;
而b的值最小为6,最大为26,且在同一个5行6列的矩形数阵中,确定有a≥b,
故②③正确,而①④不正确.
答案:②③
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)正数x,y满足1x+9y=1.
(1)求xy的最小值.
(2)求x+2y的最小值.
【解析】(1)由1=1x+9y≥21x·9y得xy≥36,当且仅当1x=9y,即y=9x=18时取等号,故xy的最小值为36.
(2)由题意可得x+2y=(x+2y)1x+9y=19+2yx+9xy≥19+22yx·9xy=19+62,当且仅当2yx=9xy,即9x2=2y2时取等号,故x+2y的最小值为19+62.
17.(12分)(2021·济南模拟)已知a∈R,函数f(x)=x2-2ax+5.
(1)若不等式f(x)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
(2)若a>1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值.
【解析】(1)由于x2-2ax+5>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
所以2a<x+5x对x>0恒成立.
由于x>0时,x+5x≥25,
当且仅当x=5x,即x=5时取等号,
所以x+5xmin=25,
所以2a<25,即a<5.
(2)由于f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为直线x=a(a>1),
所以f(x)在[1,a]上为减函数,
所以f(x)的值域为[f(a),f(1)].
而已知值域为[1,a],
所以f(a)=a2-2a2+5=1,f(1)=1-2a+5=a,
解得a=2.
18.(12分)观看此表:
1,
2,3,
4,5,6,7,
8,9,10,11,12,13,14,15,
…问:
(1)此表第n行的第一个数与最终一个数分别是多少?
(2)此表第n行的各个数之和是多少?
(3)2021是第几行的第几个数?
【解析】(1)此表第n行的第一个数为2n-1,第n行共有2n-1个数,依次构成公差为1的等差数列.
由等差数列的通项公式,此表第n行的最终一个数是2n-1+(2n-1-1)×1=2n-1.
(2)由等差数列的求和公式,此表第n行的各个数之和为[2n-1+(2n-1)]×2n-12=22n-2+22n-3-2n-2.
(3)设2021在此数表的第n行.
则2n-1≤2021≤2n-1可得n=11.
故2021在此数表的第11行,
设2021是此数表的第11行的第m个数,而第11行的第1个数为210,
因此,2021是第11行的第992个数.
19.(12分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度确定,池的四周墙壁建筑单价为每米400元,中间一条隔壁建筑单价为每米100元,池底建筑单价每平方米60元(池壁厚忽视不计).
(1)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.
(2)假如受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.
【解析】(1)设污水处理池的长为x米,则宽为200x米,
总造价f(x)=400×2x+2×200x+100×200x+60×200=800×x+225x+12000≥1600x·225x+12000=36000(元),当且仅当x=225x(x>0),即x=15时等号成立.
即污水处理池的长设计为15米时,可使总造价最低.
(2)记g(x)=x+225x(0<x≤14.5),明显是减函数,
所以x=14.5时,g(x)有最小值,相应造价f(x)有最小值,此时宽也不超过14.5米.
20.(13分)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.
(1)求f(0).
(2)求f(x).
(3)不等式f(x)>ax-5当0<x<2时恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)令x=1,y=0,
得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,
所以f(0)=f(1)-2=-2.
(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x2+x,
所以f(x)=x2+x-2.
(3)f(x)>ax-5化为x2+x-2>ax-5,
ax<x2+x+3,由于x∈(0,2),
所以a<x2+x+3x=1+x+3x.
当x∈(0,2)时,1+x+3x≥1+23,
当且仅当x=3x,即x=3时取等号,
由3∈(0,2),得1+x+3xmin=1+23,
所以a<1+23.
21.(14分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c的一个零点是-1,且满足[f(x)-x]·f(x)-x2+12≤0恒成立.
(1)求f(1)的值.
(2)求f(x)的解析式.
【解析】(1)由均值不等式得x2+12≥2x2=x,
若[f(x)-x]·f(x)-x2+12≤0恒成立,
即x≤f(x)≤x2+12恒成立,
令x=1得1≤f(1)≤12+12=1,故f(1)=1.
(2)由函数零点为-1得f(-1)=0,即a-b+c=0,
又由(1)知a+b+c=1,
所以解得a+c=b=12.
又f(x)-x=ax2+12x+c-x=ax2-12x+c,
由于f(x)-x≥0恒成立,
所以Δ=14-4ac≤0,因此ac≥116①,
于是a>0,c>0.再由a+c=12,
得ac≤c+a22=116②,
故ac=116,且a=c=14,
故f(x)的解析式是f(x)=14x2+12x+14.
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