《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第一章-第2讲-简单不等式的解法.docx

第2讲简洁不等式的解法1一元一次不等式axb(a0)的解集(1)当a0时，解集为x|x；(2)当a0时，解集为x|x000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两个相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xx2做一做1不等式x23x20的解集为x|1x0，求解时不要遗忘争辩a0时的情形(2)当0(a0)的解集是R还是，要留意区分(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述2把握一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是做一做3不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4或a4.答案：(，4)(4，)4若不等式mx22x10恒成立，则m的取值范围是_解析：由，解得m1.答案：(，1),同学用书P5P6)_一元二次不等式的解法(高频考点)_一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中档题高考对一元二次不等式解法的考查常有以下三个命题角度：(1)直接求解一元二次不等式；(2)与函数性质结合解一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求参数(1)不等式3x22x80的解集为_(2)已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_解析(1)原不等式可化为：3x22x80，1000，方程3x22x80的两根为2，结合二次函数y3x22x8的图象可知原不等式的解集为x|2x(2)由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则ab3，故选A.(3)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，又当x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x24x(x0时，由f(x)x得x24xx，解得x5；当x0时，f(x)x无解；当xx得x24xx，解得5xx的解集用区间表示为(5，0)(5，)答案(1)x|2x(2)A(3)(5，0)(5，)规律方法一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略(1)直接求解一元二次不等式对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解；对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需争辩它的符号，然后推断相应的方程有无实根，最终争辩根的大小，即可求出不等式的解集(2)与函数的性质相结合的一元二次不等式的解法先借助函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，或直接依据函数的性质求解(3)已知一元二次不等式的解集求参数依据根与系数的关系求解1.(1)(2021皖北协作区联考)不等式log2(x2x2)1的解集为()A(2，0) B(1，1)C(0，1) D(1，2)(2)(2021大连模拟)已知函数f(x)(ax1)(xb)，假如不等式f(x)0的解集是(1，3)，则不等式f(2x)a2(a0)解析：(1)选C.要使原式有意义需满足：x2x20，解得1xlog22.函数ylog2x在0，)上是单调递增函数，x2x22，0x1.1x0，得ax2(ab1)xb0，又其解集是(1，3)，a0，且解得a1或，a1，b3，f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，解得x或xa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，得x1，x2.a0时，解集为；a，解集为.综上所述：当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为._一元二次不等式恒成立问题_对任意x1，1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求a的取值范围解函数f(x)x2(a4)x42a的对称轴为x.当6时，f(x)的值恒大于零等价于f(1)1(a4)(1)42a0，解得a0，即a21，即a0，即a1，故有a1.综上可知，当a1时，对任意x1，1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零若本例“x1，1”变为“a1，1”，其他条件不变，求x的取值范围解：由f(x)x2(a4)x42a(x2)ax24x4，令g(a)(x2)ax24x4.由题意，在1，1上，g(a)的值恒大于零，解得x3.故x的取值范围是(，1)(3，)规律方法不等式恒成立问题的求解方法：(1)解决恒成立问题确定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分别参数求最值2.若关于x的不等式ax22x20在R上恒成立，求实数a的取值范围解：当a0时，原不等式可化为2x20，其解集不为R，故a0不满足题意，舍去；当a0时，要使原不等式的解集为R，只需，解得a.综上，所求实数a的取值范围为._一元二次不等式的应用_某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为12万元辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，方案提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时估量年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度估量的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必需有即解得0x，所以投入成本增加的比例应在范围内规律方法解不等式应用题的步骤：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系；(3)解不等式，得到数学结论，要留意数学模型中元素的实际意义；(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果3.汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要连续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析交通事故的一个重要因素在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发觉状况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.问：是谁超速行驶，在此事故中应负主要责任？解：由题意列出不等式，对甲车型：0.1x0.01x212，解得x30(x40舍去)；对乙车型：0.05x0.005x210，解得x40(x50舍去)，从而x甲30 km/h，x乙40 km/h，经比较知乙车超过限速，在此事故中应负主要责任,同学用书P6P7)考题溯源已知不等式的解集求参数(2021高考重庆卷)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()A.B.C.D.解析法一：由x22ax8a20)，得(x4a)(x2a)0，即2axmx的解集为x|0x0的解为x，则不等式2x2bxa0的解集是_解析：由题意，知和是一元二次方程ax2bx20的两根且a0，所以解得则不等式2x2bxa0，即2x22x120的解集为x|2x3答案：x|2x32已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：函数f(x)的值域为0，)，x2axb0时，有a24b0，即b，f(x)x2axbx2ax(x)2.f(x)(x)2c，解得x，即x.不等式f(x)c的解集为(m，m6)，()()26，解得c9.答案：9 1不等式(x1)(3x)0的解集是()A(1，3)B1，3C(，1)(3，) Dx|x1且x3解析：选C.依据题意，(x1)(3x)0，所以其解集为(，1)(3，)故选C.2设a0，不等式caxbc的解集是x|2x1，则abc()A123 B213C312 D321解析：选B.caxb0，x.不等式的解集为x|2x1，abca213.3(2021湖北八校联考)“0a0的解集是实数集R”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.当a0时，10，明显成立；当a0时，故ax22ax10的解集是实数集R等价于0a1.因此，“0a0的解集是实数集R”的充分而不必要条件4(2021上海八校联合调研)已知关于x的不等式2的解集为P.若1P，则实数a的取值范围为()A(，01，)B1，0C(，1)(0，)D(1，0解析：选B.1P有两种情形，一种是2，另一种是x1使分母为0，即1a0，解得1a0.5定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去左端点的值若关于x的不等式x2x6a0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a的取值范围是()A(，1B(，1，)C(0，1D24，1)解析：选A.由于关于x的不等式x2x6a0，则a.设方程x2x6a0的两根为x1，x2，则x1x21，x1x26a，又|x1x2|5，即5，解得a1，故选A.6不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x27若0a0的解集是_解析：原不等式即(xa)0，由0a1得a，ax0的解集是x|x0的解集解：(1)由题意知a0，即2x25x30，解得3x0的解集为(3，)10某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时削减0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解：假设一次上网x(x1.5x(0x17)，整理得x25x0，解得0x5，故当0x5时，A公司收费低于B公司收费，当x5时，A，B两公司收费相等，当5x17时，B公司收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；为5小时时，选择公司A与公司B费用一样多；超过5小时小于17小时，选择公司B的费用少1(2021陕西西安质检)在R上定义运算： adbc若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()ABC. D.解析：选D.原不等式等价于x(x1)(a2)(a1)1，即x2x1(a1)(a2)对任意x恒成立，x2x1，所以a2a2，a.故选D.2关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是()A(4，5) B(3，2)(4，5)C(4，5 D3，2)(4，5解析：选D.原不等式可化为(x1)(xa)1时得1xa，此时解集中的整数为2，3，4，则4a5，当a1时得ax1，则3a2，故a3，2)(4，53(2022高考课标全国卷)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_解析：当x1时，x10，ex1e012，当x0时，f(x)(x1)2；若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_解析：当x0，f(x)f(x)(x1)2，x，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1.答案：15已知函数f(x)mx2mx1.(1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1，3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由题意可得m0或m0或4m04m0.故m的取值范围是(4，0(2)法一：要使f(x)m5在1，3上恒成立，即mm60时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是.法二：f(x)m5m(x2x1)0，m对于x1，3恒成立，只需求的最小值，记g(x)，x1，3，记h(x)x2x1，h(x)在x1，3上为增函数，则g(x)在1，3上为减函数，g(x)ming(3)，m.所以m的取值范围是.6(选做题)设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集；(2)若a0，且0xmn0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|1x0，且0xmn，xm0.f(x)m0，即f(x)m.