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第2讲 简洁不等式的解法
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为{x|x>}；
(2)当a<0时，解集为{x|x<}．
2．一元二次不等式的解集
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1<x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
[做一做]
1．不等式x2－3x＋2<0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1，2)
答案：D
2．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<}，则ab的值为( )
A．－6 B．－5
C．6 D．5
答案：C
1．辨明三个易误点
(1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要遗忘争辩a＝0时的情形．
(2)当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是∅，要留意区分．
(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
2．把握一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
[做一做]
3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．
解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
∴a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
4．若不等式mx2－2x－1<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：由，解得m<－1.
答案：(－∞，－1)
,[同学用书P5～P6])
__一元二次不等式的解法(高频考点)______
一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中档题．
高考对一元二次不等式解法的考查常有以下三个命题角度：
(1)直接求解一元二次不等式；
(2)与函数性质结合解一元二次不等式；
(3)已知一元二次不等式的解集求参数．
(1)不等式－3x2－2x＋8≥0的解集为________．
(2)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，则a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
(3)(2021·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
[解析] (1)原不等式可化为：3x2＋2x－8≤0，∵Δ＝100>0，∴方程3x2＋2x－8＝0的两根为－2，，
结合二次函数y＝3x2＋2x－8的图象可知原不等式的解集为{x|－2≤x≤}．
(2)由题意得，A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，∴A∩B＝{x|－1<x<2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3，故选A.
(3)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，
又当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝x2＋4x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－4x(x<0)，
∴f(x)＝
①当x>0时，由f(x)>x得x2－4x>x，解得x>5；
②当x＝0时，f(x)>x无解；
③当x<0时，由f(x)>x得－x2－4x>x，解得－5<x<0.
综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(－5，0)∪(5，＋∞)．
[答案] (1){x|－2≤x≤} (2)A (3)(－5，0)∪(5，＋∞)
[规律方法] 一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略
(1)直接求解一元二次不等式．①对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解；②对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需争辩它的符号，然后推断相应的方程有无实根，最终争辩根的大小，即可求出不等式的解集．
(2)与函数的性质相结合的一元二次不等式的解法．先借助函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，或直接依据函数的性质求解．
(3)已知一元二次不等式的解集求参数．依据根与系数的关系求解．
1.(1)(2021·皖北协作区联考)不等式log2(－x2＋x＋2)>1的解集为( )
A．(－2，0) B．(－1，1)
C．(0，1) D．(1，2)
(2)(2021·大连模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，假如不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集是( )
A.∪
B.
C.∪
D.
(3)解不等式：12x2－ax>a2(a≠0)．
解析：(1)选C.要使原式有意义需满足：－x2＋x＋2>0，解得－1<x<2.
原式可化为log2(－x2＋x＋2)>log22.
∵函数y＝log2x在[0，＋∞)上是单调递增函数，
∴－x2＋x＋2>2，∴0<x<1.
∵－1<x<2，∴不等式的解集为(0，1)．
(2)选A.由f(x)>0，得ax2＋(ab－1)x－b>0，又其解集是(－1，3)，
∴a<0，且解得a＝－1或，
∴a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝－x2＋2x＋3，
∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，
解得x>或x<－，故选A.
(3)解：∵12x2－ax>a2，
∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，得x1＝－，x2＝.
①a>0时，－<，解集为；
②a<0时，－>，解集为.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为
；当a<0时，不等式的解集为
.
__一元二次不等式恒成立问题__________
对任意x∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围．
[解] 函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的对称轴为x＝－＝.
①当<－1，即a>6时，
f(x)的值恒大于零等价于f(－1)＝1＋(a－4)×(－1)＋4－2a>0，
解得a<3，故有a∈∅；
②当－1≤≤1，即2≤a≤6时，
只要f＝＋(a－4)×＋4－2a>0，
即a2<0，故有a∈∅；
③当>1，即a<2时，
只要f(1)＝1＋(a－4)＋4－2a>0，
即a<1，故有a<1.
综上可知，当a<1时，对任意x∈[－1，1]，
函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零．
若本例“x∈[－1，1]”变为“a∈[－1，1]”，其他条件不变，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a
＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.
由题意，在[－1，1]上，g(a)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．
[规律方法] 不等式恒成立问题的求解方法：
(1)解决恒成立问题确定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分别参数求最值．
2.若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，
只需，解得a>.
综上，所求实数a的取值范围为.
__一元二次不等式的应用________________
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为12万元辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，方案提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时估量年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度估量的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000(1＋0.6x)(0<x<1)，
整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必需有
即
解得0<x<，
所以投入成本增加的比例应在范围内．
[规律方法] 解不等式应用题的步骤：
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式，得到数学结论，要留意数学模型中元素的实际意义；
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．
3.汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要连续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发觉状况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：是谁超速行驶，在此事故中应负主要责任？
解：由题意列出不等式，
对甲车型：0.1x＋0.01x2＞12，
解得x＞30(x＜－40舍去)；
对乙车型：0.05x＋0.005x2＞10，
解得x＞40(x＜－50舍去)，
从而x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h，
经比较知乙车超过限速，在此事故中应负主要责任．
,[同学用书P6～P7])
考题溯源——已知不等式的解集求参数
(2021·高考重庆卷)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B.
C. D.
[解析] 法一：∵由x2－2ax－8a2<0(a>0)，
得(x－4a)(x＋2a)<0，即－2a<x<4a，
∴x1＝－2a，x2＝4a.
∵x2－x1＝4a－(－2a)＝6a＝15，
∴a＝.故选A.
法二：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，
故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝，故选A.
[答案] A
[考题溯源] 本考题源于教材人教A版必修5 P104复习参考题B组T3“若关于x的不等式－x2＋2x>mx的解集为{x|0<x<2}，求m的值．”
1.(2021·山西太原市高三调研)若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－<x<，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集是________．
解析：由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a<0，
所以解得
则不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2－2x－12<0的解集为{x|－2<x<3}．
答案：{x|－2<x<3}
2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
解析：∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)，∴x2＋ax＋b＝0时，有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，
∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝(x＋)2.
∴f(x)＝(x＋)2<c，解得－<x＋<，即－－<x<－.
∵不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，∴(－)－(－－)＝2＝6，解得c＝9.
答案：9
1．不等式(x－1)(3－x)<0的解集是( )
A．(1，3) B．[1，3]
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．{x|x≠1且x≠3}
解析：选C.依据题意，(x－1)(3－x)<0⇔(x－1)(x－3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.
2．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a∶b∶c＝( )
A．1∶2∶3 B．2∶1∶3
C．3∶1∶2 D．3∶2∶1
解析：选B.∵－c<ax＋b<c，又a>0，
∴－<x<.
∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，
∴∴
∴a∶b∶c＝a∶∶＝2∶1∶3.
3．(2021·湖北八校联考)“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当a＝0时，1>0，明显成立；当a≠0时，故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件．
4．(2021·上海八校联合调研)已知关于x的不等式<2的解集为P.若1∉P，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0]∪[1，＋∞)
B．[－1，0]
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D．(－1，0]
解析：选B.1∉P有两种情形，一种是≥2，另一种是x＝1使分母为0，即1＋a＝0，解得－1≤a≤0.
5．定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去左端点的值．若关于x的不等式x2－x－6a<0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a的取值范围是( )
A．(－，1]
B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C．(0，1]
D．[－24，1)
解析：选A.由于关于x的不等式x2－x－6a<0有解，所以Δ＝1＋24a>0，则a>－.设方程x2－x－6a＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝1，x1x2＝－6a，又|x1－x2|≤5，即＝＝≤5，解得a≤1，故选A.
6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2.
答案：{x|0<x<2}
7．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________．
解析：原不等式即(x－a)<0，由0<a<1得a<，∴a<x<.
答案：
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，猜想六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是__________．
解析：七月份：500(1＋x%)，八月份：500(1＋x%)2.
所以一至十月份的销售总额为：
3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，
解得1＋x%≤－2.2(舍)或1＋x%≥1.2，
∴xmin＝20.
答案：20
9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是{x|<x<2}．
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0，
即2x2＋5x－3<0，解得－3<x<，
即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为(－3，)．
10．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时削减0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？
解：假设一次上网x(x<17)小时，则公司A收取的费用为1.5x元，
公司B收取的费用为1.7＋(1.7－0.1)＋(1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x－1)×0.1]＝(元)．
由>1.5x(0<x<17)，
整理得x2－5x<0，解得0<x<5，
故当0<x<5时，A公司收费低于B公司收费，当x＝5时，A，B两公司收费相等，当5<x<17时，B公司收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；为5小时时，选择公司A与公司B费用一样多；超过5小时小于17小时，选择公司B的费用少．
1．(2021·陕西西安质检)在R上定义运算： ＝ad－bc．若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，x2－x－1＝－≥－，所以－≥a2－a－2，－≤a≤.故选D.
2．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )
A．(4，5) B．(－3，－2)∪(4，5)
C．(4，5] D．[－3，－2)∪(4，5]
解析：选D.原不等式可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5，当a<1时得a<x<1，则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．
3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析：当x<1时，x－1<0，ex－1<e0＝1≤2，∴当x<1时满足f(x)≤2.
当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.
综上可知x∈(－∞，8]．
答案：(－∞，8]
4．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2；若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．
解析：当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
∵x∈，
∴f(x)min＝f(－1)＝0，
f(x)max＝f(－2)＝1，
∴m＝1，n＝0，m－n＝1.
答案：1
5．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意可得m＝0或⇔m＝0或－4<m<0⇔－4<m≤0.
故m的取值范围是(－4，0]．
(2)法一：要使f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立，
即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，则0<m<；
当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述：m的取值范围是.
法二：∵f(x)<－m＋5⇔m(x2－x＋1)<6，
∵x2－x＋1>0，∴m<对于x∈[1，3]恒成立，
只需求的最小值，记g(x)＝，x∈[1，3]，
记h(x)＝x2－x＋1＝＋，h(x)在x∈[1，3]上为增函数，则g(x)在[1，3]上为减函数，
∴[g(x)]min＝g(3)＝，∴m<.
所以m的取值范围是.
6．(选做题)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．
解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1，或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．
(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a>0，且0<x<m<n<，
∴x－m<0，1－an＋ax>0.
∴f(x)－m<0，即f(x)<m.
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