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第1讲 空间几何体及其表面积与体积
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2021·无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．
解析 该正三棱锥的底面积为×()2＝，高为＝，所以该正三棱锥的体积为××＝.
答案
2．(2021·宿迁模拟)用半径为2 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为________cm.
解析 用半径为2 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，则这个圆锥筒的高为＝(cm)．
答案
3. (2022·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．
解析 三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
答案
4．(2021·盐城模拟)若一个圆锥的侧面开放图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
解析 由圆锥的侧面开放图是面积为4π的半圆面，得该半圆的半径是2，即为圆锥的母线长．半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为r，则2π＝2πr，解得r＝，所以圆锥的高是h＝＝，体积是V＝πr2h＝π.
答案 π
5．(2021·苏、锡、常、镇四市调研)已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD＝2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连接BC，则三棱锥C－ABD的体积为________．
解析 由题意可得∠CDB＝60°，DC＝DB，所以△DCB是边长为2的等边三角形，且AD⊥平面DCB，所以三棱锥C－ABD的体积为S△BCD·AD＝××2×2sin 60°×2＝.
答案
6．(2021·南京模拟)已知圆锥的侧面开放图是一个半径为3 cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为________cm.
解析 设圆锥的底面半径为r，则2πr＝3×，所以r＝1，所以高为＝2.
答案 2
7．(2022·山东卷)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析 设六棱锥的高为h，斜高为h0.由于该六棱锥的底面是边长为2的正六边形，所以底面面积为×2×2×sin 60°×6＝6，则×6h＝2，得h＝1，所以h0＝＝2，所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12.
答案 12
8．(2021·泰州检测)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B－ACC1D的体积为________．
解析 由于四棱锥B－ACC1D的底面ACC1D的面积为×(2＋4)×2＝6，高为×2＝，所以体积为×6×＝2.
答案 2
二、解答题
9．(2022·苏州检测)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是
cm.
(1)求三棱台的斜高；
(2)求三棱台的侧面积和表面积．
解 (1) 设O1、O分别为正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝，
因O1D1＝×3＝，OD＝×6＝，
则DE＝OD－O1D1＝－＝.在Rt△D1DE中，
D1D＝＝＝(cm)．
故三棱台的斜高为cm.
(2)设c，c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，
S侧＝(c＋c′)h′＝(3×3＋3×6)×＝(cm2)，
S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62＝(cm2)．
故三棱台的侧面积为cm2，表面积为cm2.
10．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．
(1)证明 在题图中，可得AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，
BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.
(2)解 由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
1．(2022·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
解析 设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1，r2、h2，则2πr1h1＝2πr2h2，＝，又＝＝，所以＝，则＝＝·＝·＝＝.
答案
2．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为________．
解析 由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V＝××()2×4＝.
答案
3．(2022·云南统一检测)已知球O的体积等于，假如长方体的八个顶点都在球O的球面上，那么这个长方体的表面积的最大值等于________．
解析 由球O的体积为＝πR3，得球O的半径R＝.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2＋y2＋z2＝(2R)2＝25，所以该长方体的表面积2xy＋2xz＋2yz≤2(x2＋y2＋z2)＝50，当且仅当x＝y＝z时取等号，所以表面积的最大值为50.
答案 50
4. 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．
(1)证明 由条件知四边形PDAQ为直角梯形．
由于QA⊥平面ABCD，
所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，
则PQ⊥QD.又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.
(2)解 设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，
所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3.
由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.
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