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第2讲 坐标系与参数方程
考情解读 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与一般方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简洁应用．以极坐标、参数方程与一般方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何学问．
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
，.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过点M(b，)且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
(3)当圆心位于M(r，)，半径为r：ρ＝2rsin θ.
4．直线的参数方程
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
5．圆的参数方程
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
6．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)．
热点一 极坐标与直角坐标的互化
例1 在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cos θ，直线l与曲线C交于点A、B，则线段AB的长为________．
答案 16
解析 ∵ρcos(θ＋)＝ρcos θcos －ρsin θsin
＝ρcos θ－ρsin θ
＝3，
∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.
又∵ρsin2θ＝8cos θ，
∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ.
∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.
解方程组，
得或，
所以A(2，－4)，B(18,12)，
所以AB＝＝16.
即线段AB的长为16.
思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，确定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的方程进行互化时，确定要留意变量的范围，要留意转化的等价性．
(1)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
(2)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
答案 (1)(，)(填(－，)亦可) (2)
解析 (1)ρ＝2sin θ代入ρcos θ＝－1可得2sin θcos θ＝－1，即2θ＝或2θ＝，解得或
又(，)与(－，)为同一点，故二者可以任填一个．
(2)ρ(cos θ＋sin θ)＝1，
即ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的一般方程为x＋y－1＝0，
ρ＝a(a>0)对应的一般方程为x2＋y2＝a2.
在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.
将代入x2＋y2＝a2得a＝.
热点二 参数方程与一般方程的互化
例2 已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为________．
答案
解析 由于直线l的参数方程为(t为参数)，
故直线l的一般方程为x＋2y＝0.
由于P为椭圆＋y2＝1上的任意一点，
故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R.
因此点P到直线l的距离是d＝
＝.
所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.
思维升华 参数方程化为一般方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为一般方程时，要留意保持同解变形．
(2021·广东)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
答案 ρcos θ＋ρsin θ－2＝0
解析 由(t为参数)，得曲线C的一般方程为x2＋y2＝2.则在点(1,1)处的切线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.
热点三 极坐标与参数方程的综合应用
例3 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．
M是C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2.
(1)C2的参数方程为________；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，则|AB|＝________.
答案 (1)(α为参数) (2)2
解析 (1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，
所以即
从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin ，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
思维升华 (1)曲线参数方程有很多优点：
①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特殊对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．
②很多参数都有实际意义，解决问题更便利．比如：
直线参数方程(α为倾斜角，t为参数)，其中|t|＝|PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点．
(2)求两点间距离时，用极坐标也比较便利，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路．
(1)(2021·湖北)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
答案
解析 椭圆C的标准方程为＋＝1，直线l的标准方程为x＋y＝m，圆O的方程为x2＋y2＝b2，
由题意知，
∴a2－b2＝2b2，a2＝3b2，
∴e＝＝＝＝.
(2)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．
①|AB|的值为________；
②点M(－1,2)到A、B两点的距离之积为________．
答案 ① ②2
解析 ①由曲线C1的参数方程可得曲线C1的一般方程为y＝x2(x≠0)，
由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－1＝0，则曲线C2的参数方程为(t为参数)，将其代入曲线C1的一般方程得t2＋t－2＝0，
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则t1＋t2＝－，t1t2＝－2，
所以|AB|＝|t1－t2|
＝＝.
②由①可得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.
1．主要题型有极坐标方程、参数方程和一般方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．
2．规律方法
方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为一般方程，有助于对方程所表示的曲线的生疏，从而达到化生疏为生疏的
目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．
3．极坐标方程与一般方程互化核心公式
，.
4．过点A(ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝.特殊地，①过点A(a,0)，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为ρcos θ＝a.②平行于极轴且过点A(b，)的直线l的极坐标方程为ρsin θ＝b.
5．圆心在点A(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ－2ρρ0cos(θ－θ0)．
6．重点把握直线的参数方程(t为参数)，理解参数t的几何意义.
真题感悟
1．(2022·陕西)在极坐标系中，点(2，)到直线ρsin(θ－)＝1的距离是________．
答案 1
解析 点(2，)化为直角坐标为(，1)，直线ρsin(θ－)＝1化为ρ(sin θ－cos θ)＝1，
y－x＝1，x－y＋1＝0，点(，1)到直线x－y＋1＝0的距离为＝1.
2．(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，线段AB的长为________．
答案 8
解析 将直线l的参数方程
代入抛物线方程y2＝4x，
得2＝4，
解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
押题精练
1．在直角坐标系中圆C的参数方程为 (α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为__________．
答案 ρ＝4sin θ
解析 由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.
2．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为ρ＝，点P(1＋cos α，sin α)，参数α∈[0,2π)．
(1)点P轨迹的直角坐标方程为________；
(2)点P到直线l距离的最小值为________．
答案 (1)(x－1)2＋y2＝1 (2)4－1
解析 (1)由
得点P的轨迹方程(x－1)2＋y2＝1.
(2)由ρ＝，得ρ＝，
∴ρsin θ＋ρcos θ＝9.
∴曲线C的直角坐标方程为x＋y＝9.
圆(x－1)2＋y2＝1的圆心(1,0)到直线x＋y＝9的距离为4，
所以|PQ|min＝4－1.
(推举时间：40分钟)
1．(2022·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为________．
答案 2
解析 直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－4，圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0.圆C的圆心(2,0)到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝.又圆C的半径r＝2，因此直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
2．圆心为C(3，)，半径为3的圆的极坐标方程为________．
答案 ρ＝6cos(θ－)
解析 设极点为O，M(ρ，θ)为圆上任意一点，过OC的直线与圆交于另一点O′，直角三角形OMO′中，ρ＝6cos|θ－|，即ρ＝6cos(θ－)．
3．已知点M的极坐标为(6，)，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________．
答案 (－3，－3)
解析 点M的直角坐标为x＝ρcos θ＝6cos π＝3，y＝ρsin θ＝6sin π＝－3.
即M(3，－3)，所以它关于y轴对称的点为(－3，－3)．
4．直线ρcos θ＝2关于直线θ＝对称的直线的极坐标方程为________．
答案 ρsin θ＝2
解析 直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x＝2，
直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，
所以所求的直线方程为y＝2.
其极坐标方程为ρsin θ＝2.
5．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为________．
答案 150°
解析 由直线的参数方程知，斜率k＝＝＝－＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.
6．将参数方程(0≤t≤5)化为一般方程为________________．
答案 x－3y－5＝0，x∈[2,77]
解析 化为一般方程为x＝3(y＋1)＋2，
即x－3y－5＝0，
由于x＝3t2＋2∈[2,77]，
故曲线为线段．
7．(2022·陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
答案
解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x＝1，即x＝；
圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，
化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x.
将x＝代入x2＋y2＝2x得y2＝，∴y＝±.
∴弦长为2×＝.
8．已知曲线C：(参数θ∈R)经过点(m，)，则m＝________.
答案 ±
解析 将曲线C：(参数θ∈R)化为一般方程为x2＋＝1，将点(m，)代入该椭圆方程，得m2＋＝1，即m2＝，所以m＝±.
9．(2021·重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 16
解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x＝4，将x＝4代入得t＝±2，从而y＝±8.所以A(4,8)，B(4，－8)．所以|AB|＝|8－(－8)|＝16.
10．(2022·天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
答案 2
解析 依据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，
所以y＝6p，所以E，F，
所以＋3＝，
所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去)．
11．已知曲线C：(θ为参数)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝________.
答案 ±
解析 将曲线C和直线l的参数方程分别化为一般方程为x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到＝1，解得b＝±.
12．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于点M，N，则线段MN的长为________．
答案 2
解析 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，
即曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，
由θ＝(ρ∈R)得，曲线C2的直角坐标方程为y＝x.
把y＝x代入x2＋y2－4y＝0，
得x2＋x2－x＝0，即x2－x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
∴y1＝0，y2＝1.
∴|MN|＝＝2.
即线段MN的长为2.
13．在极坐标系中，直线ρsin＝与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________．
答案 相离
解析 直线的直角坐标方程为x－y＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1,0)，半径为r＝1，圆心到直线的距离d＝＝>1.故直线与圆相离．
14．已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且OA＝OB，则点B的直角坐标为______________．
答案 (－，＋)
解析 依题意，点B的极坐标为，
∵cos ＝cos
＝cos cos －sin sin
＝×－×＝，
sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝×＋×＝，
∴x＝ρcos θ＝4×＝－，
y＝ρsin θ＝4×＝＋.
15．(2021·辽宁改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.
(1)C1与C2交点的极坐标为________；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，则a，b的值分别为________．
答案 (1)， (2)－1,2
解析 (1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，，
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
由参数方程可得y＝x－＋1，
所以
解得a＝－1，b＝2.
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