2022届数学一轮(理科)北师大版配套课时作业1-2-命题及其关系、充分条件与必要条件.docx

第2讲　
命题及其关系、充分条件与必要条件

基础巩固题组

(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 (　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析　依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
答案　B
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析　同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．
答案　A
3．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是 (　　)
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
解析　由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.
答案　C
4．(2021·宝鸡检测)已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，依据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.
答案　B
5．(2022·成都二诊)下列说法正确的是 (　　)
A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”
B．命题“存在x∈R，x2＞1”的否定是“任意x∈R，x2＞1”
C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题
D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题
解析　A项中否命题为“若x2≤1，则x≤1”，所以A错误；B项中否定为“任意x∈R，x2≤1”，所以B错误；由于逆否命题与原命题同真假，所以C错误；易知D正确，故选D.
答案　D
6．(2022·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的 (　　)
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析　结合正弦定理可知，a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B(R为△ABC外接圆的半径)．故选A.
答案　A
7．(2022·临沂模拟)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，假如p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是 (　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析　由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，所以k＞2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.
答案　B
8．(2022·东北三省四市联考)下列命题中真命题是 (　　)
A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件
C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件
D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件
解析　由a＞b不能得知ac2＞bc2，当c2＝0时，ac2＝bc2；反过来，由ac2＞bc2可得a ＞b.因此，“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故选C.
答案　C
二、填空题
9．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．
答案　“若x≤y，则x2≤y2”
10．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)．
解析　x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤.
答案　充分不必要
11．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是________．
解析　已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图像关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．
所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案　m＝－2
12．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析　①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，明显该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．
答案　②③
力气提升题组
(建议用时：15分钟)
13．(2022·天津卷)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析　先证“a＞b”⇒“a|a|＞b|b|”．若a＞b≥0，则a2＞b2，即a|a|＞b|b|；若a≥0＞b，则a|a|≥0＞b|b|；若0＞a＞b，则a2＜b2，即－a|a|＜－b|b|，从而a|a|＞b|b|.
再证“a|a|＞b|b|”⇒“a＞b”．若a，b≥0，则由a|a|＞b|b|，得a2＞b2，故a＞b；若a，b≤0，则由a|a|＞b|b|，得－a2＞－b2，即a2＜b2，故a＞b；若a≥0，b＜0，则a＞b.
综上，“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件．
答案　C
14．(2022·成都检测)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：
①s是q的充要条件；
②p是q的充分不必要条件；
③r是q的必要不充分条件；
④綈p是綈s的必要不充分条件；
⑤r是s的充分不必要条件．
则正确命题的序号是 (　　)
A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤
解析　∵q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．∴q，r，s互为充要条件．又p是r的充分不必要条件．∴①s是q的充要条件正确；②p是q的充分不必要条件正确；③r是q的必要不充分条件错误；④綈p是綈s的必要不充分条件正确；⑤r是s的充分不必要条件错误，故选B.
答案　B
15．(2022·湖南高考诊断)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 (　　)
A．p：x＝1，q：x2＝x
B．p：|a|＞|b|，q：a2＞b2
C．p：x＞a2＋b2，q：x＞2ab
D．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
解析　A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1 x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，由于|a|＞|b|，依据不等式的性质可得a2＞b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，由于a2＋b2≥2ab，由x＞a2＋b2，得x＞2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c＞b＋d，但是a＜b，c＞d，反之，由同向不等式可加性得a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.
答案　D
16．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析　已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N＋，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1,3；当n＝4时，方程有整数根2.
答案　3或4
17．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析　A＝＝{x|－1＜x＜3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.
答案　(2，＋∞)