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[真题感悟]
1．(2022·广东卷)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.
解析 易证△AEF∽△CDF，且3AE＝CD，
∴＝＝3.
答案 3
2．(2022·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.
解析 由题意QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，PA＝4，∵PA＝PB，∴PB＝4.
答案 4
3．(2022·湖南卷)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．
解析 连接OB，设OA与BC的交点为D，半径为R，则OD＝R－1，在Rt△OBD中，
由勾股定理，得R2＝2＋(R－1)2，∴R＝.
答案
4．(2022·重庆卷)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.
解析 由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．
由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，
又∠APB＝∠CPA，
故△APB∽△CPA，
则＝，
即＝，
解得AB＝4.
答案 4
[考点整合]
1．(1)相像三角形的判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像．
判定定理2：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像．
判定定理3：对于任意两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像．
(2)相像三角形的性质
①相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比；
②相像三角形周长的比等于相像比；
③相像三角形面积的比等于相像比的平方．
(3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
3．(1)圆内接四边形的性质定理：
①圆的内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
(2)圆内接四边形判定定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
4．(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
(2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相像，若不相像，则进行线段替换或等比替换．
6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要留意找相等的角，找相像三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应留意代数法在解题中的应用.
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