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【新课教学过程设计（一）】
其次章 空间点、直线、平面之间的位置关系
第2.1.1节 平面
提出问题
①怎样理解平面这一最基本的几何概念;
②平面的画法与表示方法;
③如何描述点与直线、平面的位置关系？
④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能推断直线在平面内？
⑤依据自己的生活阅历，几个点能确定一个平面？
⑥假如两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？
⑧自己总结三个公理的有关内容.
活动：让同学先思考或争辩，然后再回答，经老师提示、点拨，对回答正确的同学准时表扬，对回答不精确 的同学提示引导考虑问题的思路.对有困难的同学可提示如下：
①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.
②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.
③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.
④确定一条直线需要几个点？
⑤引导同学观看教室的门由几个点确定.
⑥两个平面不行能仅有一个公共点，由于平面有无限延展性.
⑦文字语言、图形语言、符号语言.
⑧平面的基本性质小结.
争辩结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，由于它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何肯定不错).
②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.假如一个平面被另一个平面遮拦住，为了增加它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.
图2 图3
平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.
图4 图5
③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：
点A在直线a上（或直线a经过点A）
A∈a
元素与集合间的关系
点A在直线a外（或直线a不经过点A）
Aa
点A在平面α内（或平面α经过点A）
A∈α
点A在平面α外（或平面α不经过点A）
Aα
④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.
公理1：假如一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内.
这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.
空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.
图6 图7
请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.
若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,则aα.如图（图7）.
⑤在生活中，我们经常可以看到这样的现象：三脚架可以坚固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.
上述事实和类似的阅历可以归纳为下面的公理.
公理2：经过不在同始终线上的三点，有且只有一个平面.
如图（图8）.
图8
公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.
⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？
不是，由于平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，由于直线是无限延长的，假如平面是有限的，那么无限延长的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.
现在我们依据平面的无限延展性来观看一个现象（课件演示给同学看）.
问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，由于平面是无限延展的，应当有很多公共点.正由于平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有很多个公共点.那么这很多个公共点在什么位置呢？可见，这很多个公共点在一条直线上.
这说明，假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.
图9
公理3告知我们，假如两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面肯定相交，且其交线肯定过这个公共点.也就是说，假如两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.
由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告知我们全部交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.
⑧“平面的基本性质”小结：
名称
作用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
应用示例
例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
图10
活动：同学自己思考或争辩，再写出（最好用实物投影仪呈现写的正确的答案）.老师在同学中巡察，发觉问题准时订正，并准时评价.
解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.
变式训练
1.画图表示下列由集合符号给出的关系：
(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;
(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：如图11.
图11
2.依据下列条件，画出图形.
（1）平面α∩平面β=l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，Fl;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.
答案：如图12.
图12
点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
(1)依据图形，先推断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.
(2)依据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.
例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.
图13
证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，
依据公理2经过不在同始终线上的三点A、B、C有一个平面α，
由于A、B在平面α内，依据公理1，直线a在平面α内,
同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.
又由于A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面肯定经过点A、B、C.
于是依据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，
所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.
变式训练
求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,
图14
∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,bα.
∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,
即a、b、c、d在同一平面内.
点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：
(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.
课堂小结
1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.
2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.
名称
作用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.
作业
课本习题2.1 A组5、6.
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