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第7讲 函数图象
一、选择题
1．函数y＝|x|与y＝在同一坐标系上的图像为( )
解析 由于|x|≤，所以函数y＝|x|的图像在函数y＝图像的下方，排解C、D，当x→＋∞时，→|x|，排解B，故选A.
答案 A
2．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象全部交点的横坐标之和等于( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．
如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故全部交点的横坐标之和为8.
答案 D
3．已知函数f(x)＝x－tan x，若实数x0是函数y＝f(x)的零点，且0<t<x0，则f(t)的值 ( )．
A．大于1 B．大于0 C．小于0 D．不大于0
解析 分别作出函数y＝x与y＝tan x在区间上的图象，得到0<x0<，且在区间(0，x0)内，函数y＝x的图象位于函数y＝tan x的图象上方，即0<x<x0时，f(x)>0，则f(t)>0，故选B.
答案 B
4．如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是 ( )．
解析 当直线l从原点平移到点B时，面积增加得越来越快；当直线l从点B平移到点C时，面积增加得越来越慢．故选C.
答案 C
5．给出四个函数，分别满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
②g(x＋y)＝g(x)·g(y)，③h(x·y)＝h(x)＋h(y)，
④m(x·y)＝m(x)·m(y)．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )
A．①甲，②乙，③丙，④丁 B．①乙，②丙，③甲，④丁
C．①丙，②甲，③乙，④丁 D．①丁，②甲，③乙，④丙
解析 图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y＝x的图象，满足①.
答案 D
6．如右图，已知正四棱锥S－ABCD全部棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为 ( )．
解析 (1)当0<x<时，过E点的截面为五边形EFGHI(如图1所示)，连接FI，
由SC与该截面垂直知，SC⊥EF，SC⊥EI，∴EF＝EI＝SEtan 60°＝x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，FI＝GH＝AH＝2 x，∴五边形EFGHI的面积S＝FG×GH＋FI× ＝2x－3x2，
∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝(2x－3x2)×CE＋2×××1×(1－2x)×(1－2x)＝x3－x2＋，其图象不行能是一条线段，故排解C，D.
(2)当≤x<1时， 过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG，则EG＝EF＝ECtan 60°＝(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱锥E－FGC底面FGC上的高h＝ECsin 45°＝(1－x)，
∴V(x)＝×CG·CF·h＝(1－x)3，
∴V′(x)＝－(1－x)2，
又明显V′(x)＝－(1－x)2在区间上单调递增，V′(x)<0，
∴函数V(x)＝(1－x)3在区间上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排解B，应选A.
答案 A
二、填空题
7．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象全部交点的横坐标之和等于________．
解析 函数y＝＝和y＝2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y＝与y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，
由对称性得x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8.
答案 8
8．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．
解析 作出函数y＝log2(－x)及y＝x＋1的图象．其中y＝log2(－x)与y＝log2 x的图象关于y轴对称，观看图象(如图所示)知－1<x<0，即x∈(－1,0)．也可把原不等式化为后作图．
答案 (－1,0)
9．设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．
解析 在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象如图所示，可观看出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.
答案 6
10.已知函数f(x)=()x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题：
①h(x)的图象关于原点对称；
②h(x)为偶函数；
③h(x)的最小值为0；
④h(x)在(0，1)上为减函数.
其中正确命题的序号为 _________.(将你认为正确的命题的序号都填上)
解析 g(x)= x,
∴h(x)= (1-|x|),
∴h(x)=
得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为②③.
答案 ②③
三、解答题
11．争辩方程|1－x|＝kx的实数根的个数．
解 设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数．
由右边图象可知：当－1≤k<0时，方程没有实数根；
当k＝0或k<－1或k≥1时，方程只有一个实数根；
当0<k<1时，方程有两个不相等的实数根．
12．设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．
解析 (1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，
则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4－x,2－y)，
代入f(x)＝x＋，
可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋，
∴g(x)＝x－2＋.
(2)由消去y
得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝(m＋6)2－4(4m＋9)，
∵直线y＝m与C2只有一个交点，
∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.
当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；
当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．
13．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，求a的取值范围．
解 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2) 时，不等式
(x－1)2<logax恒成立，
只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．
当0<a<1时，综合函数图象知明显不成立．
当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，
只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，
∴1＜a≤2.
∴a的取值范围是(1,2]
14．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象并推断其零点个数；
(3)依据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)依据图象写出不等式f(x)>0的解集；
(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．
解 (1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f(x)的图象如图：
由图象知f(x)有两个零点．
(3)从图象上观看可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．
(4)从图象上观看可知：
不等式f(x)>0的解集为：{x|0<x<4或x>4}．
(5)由图象可知若y＝f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则0<m<4，∴集合M＝{m|0<m<4}．
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