2021高考数学(人教通用-理科)二轮专题整合：专题训练1-2-3.docx

第3讲　平面对量

一、选择题
1．(2022·重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝ (　　)．
A．－ B．0
C．3 D．
解析　由于2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.
答案　C
2．(2022·河南十所名校联考)在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝ (　　)．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　由点A，B，M三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.
答案　C
3．(2022·吉林省试验中学模拟)在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为 (　　)．
A. B．
C. D．
解析　由题意知点F为△ABC的重心，设H为BC中点，则＝＝×(＋)＝a＋b，
所以x＝，y＝.
答案　C
4．(2022·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且·＝1，则·等于 (　　)．
A．－1 B．1
C. D．
解析　依题意，||＝||＝||＝，·＝||||cos ∠AOC＝1，
cos ∠AOC＝，∠AOC＝，则||＝||＝||＝，∠BAC＝，·＝||||cos ∠BAC＝1.
答案　B
5．(2022·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面对量，则 (　　)．
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
解析　对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A、B均错；而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此选D.
答案　D
二、填空题
6．(2022·山东卷)在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
解析　由A＝，·＝tan A，
得||·||·cos A＝tan A，
即||·||×＝，∴||·||＝，
∴S△ABC＝||·||·sin A＝××＝.
答案　
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2 ，则·＝________.

解析　法一　如图建立平面直角坐标系．
由题意知：A(3,0)，B(0,3)，
设M(x，y)，由＝2，

得解得即M点坐标为(2,1)，
所以·＝(2,1)·(0,3)＝3.
法二　·＝(＋)·＝2＋×＝2＋·(－)＝2＝3.
答案　3
8．(2022·杭州质量检测)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．
解析　如图，在△AOB中，＝＝×(＋)＝(＋)，

又·＝||||·cos 60°＝6，
∴||||＝12，
∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2＋12)≥×＝×36＝4(当且仅当||＝|O|时取等号)．∴||≥2，故||的最小值是2.
答案　2
三、解答题
9．(2021·江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
(1)证明　由|a－b|＝，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.
(2)解　由已知条件
cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，
又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1，
即sin α＝，故α＝或α＝.
当α＝时，β＝(舍去)，当α＝时，β＝.
所以，α，β的值分别为，.
10．已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)．
(1)当m∥n时，求的值；
(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f
的取值范围．
解　(1)由m∥n，可得3sin x＝－cos x，
于是tan x＝－，∴＝＝＝－.
(2)在△ABC中A＋B＝π－C，于是 sin(A＋B)＝sin C，
由正弦定理，得sin C＝2sin Asin C，
∵sin C≠0，∴sin A＝.又△ABC为锐角三角形，
∴A＝，于是<B<.
∵f(x)＝(m＋n)·m＝(sin x＋cos x,2)·(sin x，－1)＝sin2 x＋sin xcos x－2＝＋sin 2x－2＝
sin－，
∴f＝sin－＝sin 2B－.由<B<，得<2B<π，
∴0<sin 2B≤1，－<sin 2B－≤－，
即f(B＋)∈.
11．(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
解　(1)法一　∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，∴解得
即＝(2,2)，故||＝2.
法二　∵＋＋＝0，
则(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2,2)，∴||＝2.
(2)∵＝m＋n，

∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.