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双基限时练(一) 集合的概念
基 础 强 化
1．下列说法正确的是( )
A．2022年上半年发生的大事能构成一个集合
B．小于100的整数构成的集合是无限集
C．空集中含有元素0
D．自然数集中不含有元素0
解析 “大事”是不确定的对象，故A错；空集中不含有任何一个元素，故C错误；自然数集中含有元素0，故D错误．
答案 B
2．若元素a∈Q，但a∉Z，则a的值可以是( )
A. B．－5
C. 0 D.
解析 由题意可知，元素a是有理数，但a不是整数，所以a是分数．
答案 D
3．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC肯定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析 依据集合中元素的互异性，知a，b，c都不相等，故选D.
答案 D
4．下列描述的对象组成的集合是无限集的是( )
A．方程x2－6x＋5＝0的根
B．大于0且小于2的实数
C．小于20的质数
D．倒数等于它本身的实数
解析 A中描述的集合中只有1,5两个元素；B中大于0且小于2的实数有无限多个；C中小于20的质数有8个；D中描述的对象只有±1.故B中所描述的集合是无限集．
答案 B
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中，最多含有元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析 当x≠0时，x，－x，|x|，，－表示x与－x两个元素；
当x＝0时，它们都等于0，故只能表示1个元素，所以它们最多表示两个元素，故选D.
答案 D
6．已知a，b为非零实数，代数式＋＋的值组成集合A，则下列推断正确的是( )
A．－3∈A B．－1∈A
C．1∈A D．2∈A
解析 ∵a，b为非零实数，
∴代数式＋＋的取值为－1和3，
∴－1∈A,3∈A.
答案 B
7．已知集合A为双元素集合，且只含有元素2a＋3和7－4a，则实数a的取值范围为________．
解析 令2a＋3≠7－4a，∴6a≠4，∴a≠.
答案 a≠
8．集合A中的元素为2,3，a2＋2a－3，集合B中的元素为a＋3,2.若5∈A，且5∉B，则a＝________.
解析 ∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5，则a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，集合B中的元素为5,2，
不满足5∉B，故a＝2舍去．
当a＝－4时，集合B中的元素为－1,2，
满足5∉B，故a＝－4成立．
综上所述，a＝－4.
答案 －4
能 力 提 升
9．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.
解析 由题意知，方程x2－2x－3＝0的两个根为a，b，由韦达定理知，a＋b＝2.
答案 2
10．推断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；
(2)1，，，，这些数组成的集合有5个元素；
(3)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．
解 (1)不正确．由于“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．
(2)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必需是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．
(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合．
11．已知集合A中的元素为a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，求a的值．
解 (1)若a＋2＝1，则a＝－1.
则(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，A中的元素为1,0,1.
不满足集合中元素的互异性，∴a＝－1舍去．
(2)若(a＋1)2＝1，则a＝0，或a＝－2.
当a＝0时，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，
A中的元素为2,1,3，满足题意条件．
当a＝－2时，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝1，
A中的元素为0,1,1，不满足集合中元素的互异性，
∴a＝－2舍去．
(3)若a2＋3a＋3＝1，即(a＋1)(a＋2)＝0，
∴a＝－1，或a＝－2.
由(1)(2)可知a＝－1和a＝－2均不满足题意，
∴a＝－1，或a＝－2舍去．
综上(1)(2)(3)，a＝0.
12．设数集A是满足下列条件的集合：①1∉A；②若a∈A，则∈A.求证：
(1)若2∈A，则A中还有其他两个元素；
(2)集合A不行能是单元素集合．
证明 (1)由2∈A，则＝－1∈A，
由－1∈A，则＝∈A.
由∈A，则＝2∈A，又回到了开头，
故当2∈A时，集合A中必含有另两个元素－1，.
(2)不妨设集合A中只有1个元素a，
由题意可知∈A，由于集合A为单元素集合，
所以a＝，即a2－a＋1＝0，
其Δ＝1－4＝－3<0，故方程a2－a＋1＝0无解．
所以集合A不行能是单元素集合．
品 味 高 考
13．集合A由1,4,9,16，…构成，若m∈A，n∈A，则m⊕n∈A，“⊕”是一种运算，则“⊕”可以是( )
A．加法 B．减法
C．除法 D．乘法
解析 两个整数的平方的乘积肯定是某一整数的平方，故⊕可以是乘法．
答案 D
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