福建省长泰一中2021届高三上学期期末考试数学(理)试题-Word版含答案.docx

长泰一中2022/2021学年上学期
高三期末考数学（理科）试卷
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.若集合，则中元素个数为 （ ）
A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个
2．假如复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2
3. 在中，若,则的
面积( )
A 、 B、 C、 D、
4．下列命题中，真命题是（ ）
A． B．
C． D．
5. 某程序框图如图所示，若程序运行后输出S的值是25，则图中推断框①处可填入的语句是 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的
阴影部分面积等于 （ ）
A． B． C． D．
7．.若函数则的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
8. 如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为(　　)
A． B
C． D．
9. 若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是 （ ）
A B　 C D　
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 在的开放式中，常数项为 ；（用数字作答）
12. 已知两个单位向量，的夹角为30°，，.若，则
正实数=____________
13. 若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是____________
14、已知等差数列中, ,,则 .
15、2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线（）的两个焦点为、，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“”更换为“，且”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）
16.（本小题满分13分）已知向量， ，设函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）已知锐角的三个内角分别为若，，边，求边．

17．（本小题满分13分）
从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球.假如摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，连续做下一次摸球试验；假如摸出红球，则结束摸球试验.
（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率与两次摸球后结束试验的概率；
（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为，求的分布列及其数学期望.

18. （本小题满分13分）
下图是一几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图。
（I）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；
（II）求证：BD//平面PEC；
（III）求平面PEC与平面PCD所成的二面角（锐角）的大小。

19.（本小题满分13分）
设椭圆E: （a,b>0），短轴长为4，离心率为，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。

20.（本小题满分14分）已知函数．
(Ⅰ)争辩函数在定义域内的极值点的个数；
(Ⅱ)若函数在处取得极值，且对,恒成立，
求实数的取值范围；
(Ⅲ)当且时，试比较的大小．

21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，假如多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换T将点(2，－2)与(－4,2)分别变换成点(－2，－2)与
(0，－4)．
①求矩阵M；
②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝6，求l的方程．

（2） （本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的方程为，曲线的参数方程为
（Ⅰ） 将的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若点为上的动点，为上的动点，求的最小值．

（3） （本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝| x+3|－|x－2|.
①求不等式f(x)≥3的解集；
②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范围．

草 稿 纸

长泰一中2022/2021学年上学期
高三期末考数学（理科）试卷答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.若集合，则中元素个数为 （ ）

A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个
答案 B
2．假如复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2
解析： 即 ，故选择答案A
3. 在中，若,则的面积( )
A 、 B、 C、 D、
解析：改编自2022福建理科高考12题，考查三角形的解法和面积公式，答案C
4．下列命题中，真命题是（ ）
A． B．
C． D．
解析：答案为D
5. 某程序框图如图所示，若程序运行后输出S的值是25，则图中推断框①处可填入的语句是 （ B ）
A． B．
C． D．
6．如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的
阴影部分面积等于 （ B ）
A． B．
C． D．
7．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，
则f(－1)＝(　D　)
A．3 B．1 C．－1 D．－3
8. 如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为(　　)
A． 　B
C． 　D．
【答案】B
解析:如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴,求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．

9. 若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：对于A，或 异面，所以错误；对于B， 与 可能相交可能平行，所以错误；对于C， 与 还可能异面或相交，所以错误.故答案应选D
10. 如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是 （ ）
A　 B　 C　 D　
选D﹒

第Ⅱ卷（非选择题共100分）
三、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
11．
13. 已知两个单位向量，的夹角为30°，，.若，则正实数=____________
解析：t=1
13. 若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，
a－b的值是____________
解析：本题主要考查线性规划的应用，意在考查考生对基础学问的把握．约束条件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝4，y＝4时，a＝zmax＝5×4－4＝16；当x＝8，y＝0时，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.
14、
15、2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线（）的两个焦点为、，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“”更换为“，且”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是
答案：
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）
16.（本小题满分13分）已知向量， ，设函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）已知锐角的三个内角分别为若，，边，求边．
解：（1）

．
…………………………4分
∵R，由 得
……… 6分
∴函数的单调增区间为． ……………………7分

（2）∵，即，∵角为锐角，得， ……… 9分
又，∴，∴
∵，由正弦定理得 ……… 13分
本题由练习改编，考查向量的坐标运算，三角恒等变换，及正弦定理的应用。
17.从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球.假如摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，连续做下一次摸球试验；假如摸出红球，则结束摸球试验.
（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率与两次摸球后结束试验的概率；
（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为，求的分布列及其数学期望.
本题考查古典概型互斥大事和独立大事的概率，随机变量的分布列及数学期望等学问与方法；考查运算求解力气以及应用概率学问分析解决问题的力气；考查必定与或然思想。解：（Ⅰ）一次摸球结束试验的概率；　 　……………………3分
二次摸球结束试验的概率；　　 ……………………………………6分
（Ⅱ）依题意得： 的全部可能值有　　 ……………………………………… 7分
，
；　　 …………………………………………………………9分
； ………………………………………………………11分

1
2
3
4

∴。 　　　

19.（本小题满分13分）设椭圆E: （a,b>0），短轴长为4，离心率为，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。
解:（1）由于椭圆E: （a,b>0）,b=2, e=
所以解得所以椭圆E的方程为……… 5分
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, ……… 7分
则△=,即
② ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,由于直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,……… 11分
此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.……… 13分

20.（本小题满分14分）已知函数．
(Ⅰ)争辩函数在定义域内的极值点的个数；
(Ⅱ)若函数在处取得极值，且对,恒成立，
求实数的取值范围；
(Ⅲ)当且时，试比较的大小．
解：(Ⅰ)，
当时，在上恒成立，函数 在单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有微小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．……… 4分
(Ⅱ)∵函数在处取得极值，
∴，
∴，
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即．……… 9分
(Ⅲ)解：令，
由(Ⅱ)可知在上单调递减，则在上单调递减
∴当时，>，即．
当时，
∴，
当时，
∴          ……… 14分           

21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，假如多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换T将点(2，－2)与(－4,2)分别变换成点(－2，－2)与(0，－4)．
①求矩阵M；
②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝6，求l的方程．
解　(1)设M＝，所以，且，
解得，所以M＝.……… 4分
(2)由于＝＝
且m：x′－y′＝6，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝6，
即x＋y＋3＝0，∴直线l的方程是x＋y＋3＝0……… 7分

（3） （本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的方程为，曲线的参数方程为
（Ⅰ） 将的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若点为上的动点，为上的动点，求的最小值．
解：（Ⅰ）由已知得，即………3分
（Ⅱ）由得，所以圆心为，半径为1．
又圆心到直线的距离为,…………………5分
所以的最大值为．…………………………7分
（4） （本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝| x+3|－|x－2|.
①求不等式f(x)≥3的解集；
②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范围．
解：(1) [1, + ) ……… 3分
(2) |a－4|≤5 ∴-1≤a≤9……… 7分