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第7讲 解三角形应用举例
[最新考纲]
能够运用正弦定理、余弦定理等学问解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
知 识 梳 理
1．距离的测量
背景
可测元素
图形
目标及解法
两点均可到达
a，b，α
求AB：AB＝
只有一点可到达
b，α，β
求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)＝
两点都不行到达
a，α，β，γ，θ
求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；
(2)△BCD中，用正弦定理求BC；
(3)△ABC中，用余弦定理求AB
2.高度的测量
背景
可测元素
图形
目标及解法
底部可到达
a，α
求AB：AB＝atan_α
底部不行到达
a，α，β
求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝ADsin_β
3.实际问题中常见的角
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．
(2)方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
辨 析 感 悟
1．测量距离问题
(1)海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10n mile，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是5 n mile. (√)
(2)如图1，为了测量隧道口AB的长度，测量时应当测量数据a，b，γ. (√)
图1 图2
2．测量高度问题
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)
(4)如图2，B，C，D三点在地面同始终线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(α＜β)，则可以求出A点距地面的高度AB.(√)
3．测量角度问题
(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观看点与目标点之间的位置关系，其范围均是. (×)
(6)若点A在点C的北偏东30°方向，点B在点C的南偏东60°方向，且AC＝BC，则点A在点B北偏西15°方向． (√)
[感悟·提升]
1．一个区分 “方位角”与“方向角”的区分：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.
2．解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)依据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)依据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，留意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
同学用书第66页
考点一 测量距离问题
【例1】 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．
解 如图所示，在△ACD中，
∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，
∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝()2＋2－2×××cos 75°
＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km.
规律方法 (1)测量两个不行到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．
(2)测量从一个可到达的点到一个不行到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．
【训练1】 (2021·茂名二模) 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为( )．
A．50 m
B．50 m
C．25 m
D.m
解析 由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝50 (m)．
答案 A
考点二 测量高度问题
【例2】 如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.
(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
(2)求塔的高AB.
解 (1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－∠DBF＝180°－45°＝135°，
CD＝6 000×＝100(米)，
∠D＝180°－135°－30°＝15°，
由正弦定理得＝，
∴BC＝＝
＝＝＝50(－1)(米)．
在Rt△ABE中，tan α＝.
∵AB为定长，
∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD.
当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，
EC＝BC·cos∠BCE＝50(－1)×
＝25(3－)(米)．
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，
则t＝×60＝×60＝(分钟)．
(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，
在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，
∴AB＝BE·tan 60°＝BC·sin∠BCD·tan 60°
＝50(－1)××＝25(3－)(米)．
即所求塔高AB为25(3－) 米．
规律方法 (1)测量高度时，要精确 理解仰、俯角的概念．
(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．
(3)留意竖直线垂直于地面构成直角三角形．
【训练2】 (2022·宁波模拟)某高校的大门蔚为壮丽，有个同学想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC＝9米，利用测角仪测得仰角∠ACB＝45°，测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD＝，则AD的距离为 ( )．
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
解析 设AD＝x，则BD＝9－x，CD＝，在△ACD中应用正弦定理得＝，
即＝，
所以2[92＋(9－x)2]＝26x2，即81＋81－18x＋x2＝13x2，
所以2x2＋3x－27＝0，
即(2x＋9)(x－3)＝0，所以x＝3(米)．
答案 C
考点三 测量角度问题
【例3】 如图，在海岸A处，发觉北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．
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审题路线 分清已知条件和未知条件⇒设行驶t小时，则CD，BD可求⇒在△ABC中，用余弦定理求BC，用正弦定理求sin∠ABC⇒在△BCD中，用正弦定理求∠BCD⇒可推出BD＝BC⇒再求t⇒回到实际问题中去．
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．
在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，依据余弦定理，可得
BC＝＝(海里)．
依据正弦定理，可得
sin∠ABC＝＝＝.
∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，依据正弦定理，可得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，
∴BD＝BC＝海里，
则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．
规律方法 (1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解．
(2)依据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．
【训练3】 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于( )．
A. B. C. D.
解析 如图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，故BC＝20(海里)．
由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
故cos∠ACB＝.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
答案 B
1．解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(精确 地画出图形)——求解——检验作答．
2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．
3．解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
教你审题4——破解实际应用中的方向角问题
【典例】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向❶的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A动身沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处动身沿北偏东α的方向❷追赶渔船乙，刚好用2小时追上❸，此时到达C处．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[审题] 一审条件❶：“南偏西60°”转化到△ABC中，即∠BAC＝120°；
二审条件❷：“北偏东α”可得∠BCA＝α；
三审条件❸：“刚好用两小时追上”指|AC|＝20 海里．
解 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.
解得BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为＝14(海里/时)．
(2)由(1)知BC＝28海里，AB＝12海里，在△ABC中，
∠BCA＝α，由正弦定理得＝.
即sin α＝＝＝.
[反思感悟] 本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理进行求解．
【自主体验】
一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
( )．
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．
答案 A
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等，灯塔A在观看站北偏东40°，灯塔B在观看站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )．
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
解析
灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.
答案 B
2．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2α，连续在水平地面上前进300 m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为( )．
A．300 m B．450 m
C．300 m D．600 m
解析 如图所示，易知，在△ADE中，∠DAE＝2α，∠ADE＝180°－4α，
AD＝300 m，由正弦定理，得
＝，解得cos 2α＝，
则sin 2α＝，sin 4α＝，
所以在Rt△ABC中山峰的高度h＝300sin 4α＝300×＝450(m)．
答案 B
3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( )．
A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m
解析
由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．
答案 D
4．(2022·广州调研)如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于( )．
A. B. C. D.
解析 由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.
由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝.
答案 A
5．(2021·哈尔滨模拟)
如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )．
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析 依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 B
二、填空题
6．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为______千米．
解析 由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理，得＝，即＝，解得AC＝(千米)．
答案
7.
(2021·杭州一中测试)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h.
解析 设航速为v n mile/h，
在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile，
∠BSA＝45°，
由正弦定理，得＝，
∴v＝32 n mile/h.
答案 32
8．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m.
解析 过点D作DE∥AC交BC于E，由于∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，
故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝
＝＝500(＋)(m)．
所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m)．
答案 500(＋1)
三、解答题
9.
如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
解 在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝，
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.
10.
(2022·石家庄模拟)已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5 x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，BC＝0.5 x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )．
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
解析 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，依据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
答案 A
2.
如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )．
A．2.7 m B．17.3 m
C．37.3 m D．373 m
解析 在△ACE中，
tan 30°＝＝.∴AE＝(m)．
在△AED中，tan 45°＝＝，
∴AE＝(m)，
∴＝，
∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．
答案 C
二、填空题
3．如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时张角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时张角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．
解析 在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.
由于∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.
由正弦定理，得＝，
所以＝.
所以AD＝＝200(米)．
在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，
所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝100(米)．故石竹山这条索道AC长为100 米．
答案 100
三、解答题
4．(2021·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲动身2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在什么范围内？
解 (1)在△ABC中，由于cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得
AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)设乙动身t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝·sin A＝×＝500(m)．
乙从B动身时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在(单位：m/min)范围内．
步骤规范练——三角恒等变换及解三角形
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1．(2021·山东师大附中月考)化简＝( )．
A．－2 B．－ C．－1 D．1
解析 ＝＝＝－1.
答案 C
2．(2022·潮州二模)在△ABC中，A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为( )．
A．1 B. C．2 D.
解析 由题意知S△ABC＝×AB×AC×sin A＝×2×AC×＝，∴AC＝1.
答案 A
3．(2021·成都五校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos，则sin 2α等于( )．
A. B．－ C. D．－
解析 ∵α∈，∴2α∈(0，π)，－α∈.
又cos 2α＝cos，2α＝－α或2α＋－α＝0，
∴α＝或α＝－(舍)．
∴sin 2α＝sin ＝，故选A.
答案 A
4．(2022·中山模拟)已知角A为△ABC的内角，且sin 2A＝－，则sin A－cos A＝( )．
A. B．－ C．－ D.
解析 ∵A为△ABC的内角，且sin 2A＝2sin Acos A＝－＜0，∴sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0.
又(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝.
∴sin A－cos A＝.
答案 A
5．(2021·临沂一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2 A＋sin2 C－sin2 B＝sin Asin C，则角B为( )．
A. B. C.π D.π
解析 由正弦定理可得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝，所以B＝.
答案 A
6．(2021·湛江二模)若三条线段的长分别为3,5,7，则用这三条线段( )．
A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形
解析 设能构成三角形的最大边为a＝7，所对角为A，则cos A＝＝－＜0，
故A为钝角，即构成的三角形为钝角三角形．
答案 C
7．(2021·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝( )．
A. B. C. D.
解析 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b，∴a＝b，
代入b＋c＝2a中，得c＝b.由余弦定理，
得cos C＝＝－，∴C＝.
答案 B
8．(2021·东北三校联考)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝( )．
A. B.
C.或 D.或
解析 α，β都是锐角，
当cos α＝时，sin α＝.
由于cos α＝＜，所以α＞60°.
又sin(α＋β)＝＜，
所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.
明显α＋β＜60°不行能，所以α＋β为钝角．
又sin(α＋β)＝，因此cos(α＋β)＝－，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝＝.
答案 A
9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．
A．10 B．9 C．8 D．5
解析 化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据，得b＝5.
答案 D
10．(2021·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )．
A. B. C. D.
解析 由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA·
BCcos B＝()2＋32－2××3cos＝5.
∴AC＝，由正弦定理＝，得
sin∠BAC＝＝＝＝.
答案 C
二、填空题
11．(2021·浙江五校联盟联考)已知sin＝，且x∈，则cos 2x的值为________．
解析 sin 2x＝cos＝1－2sin2
＝1－2×2＝－，
∵x∈，∴2x∈.
∴cos 2x＝－＝－.
答案 －
12．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析 由△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，可得B＝60°.又在△ABD中，AB＝1，BD＝2，由余弦定理可得AD＝＝.
答案
13．(2021·济宁期末考试)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝，C＝π，则S△ABC＝________.
解析 由于c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得＝，即＝＝2，即sin B＝，所以B＝，所以A＝π－－＝.所以S△ABC＝bc sin A＝××＝.
答案
14．(2022·天水模拟)f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈，则f(x)的最小值为________ .
解析 f(x)＝2sin2－cos 2x－1
＝1－cos 2－cos 2x－1
＝－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin，由于≤x≤，所以≤2x－≤，所以≤sin≤1，所以1≤2sin≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值为1.
答案 1
三、解答题
15．(2021·新课标全国Ⅰ卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解 (1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝3＋－2××cos 30°＝.
故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理，得＝，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
16．(2021·江西卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解 (1)由已知得
－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，
即有sin Asin B－sin Acos B＝0，
由于sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，
又cos B≠0，所以tan B＝，
又0＜B＜π，所以B＝.
(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.
由于a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝32＋.
又0＜a＜1，于是有≤b2＜1，即有≤b＜1.
故b的取值范围是.
17．(2021·潍坊一模)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＋bsin A＝c.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，·＝3，求b＋c的值．
解 (1)由acos B＋bsin A＝c，得
sin Acos B＋sin Bsin A＝sin (A＋B)，
即 sin Bsin A＝cos Asin B，
所以tan A＝，故A＝.
(2)由·＝3，得bccos ＝3，即bc＝2，①
又a＝1，
∴1＝b2＋c2－2bccos ，②
由①②可得(b＋c)2＝7＋4，所以b＋c＝2＋.
18．(2021·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
解 (1)由于a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理，得cos C＝＝＝－，
故C＝.
(4)由题意得
＝，
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsinB－cos B)＝，
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①
由于C＝，所以A＋B＝，
所以sin(A＋B)＝，
由于cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝，
解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
同学用书第68页
制造并非规律推理之结果，规律推理只是用来验证已有的制造设想。
——艾伯特·爱因斯坦(1879—1955，美国物理学家)
学校要求老师在训练过程中要像艺术家那样，制造性地劳动。首先，老师应当自己就曾在这样的学校中成长。其次，老师应当有极大的自由去选择教授内容和教授方法。——爱因斯坦
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