2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第3篇-第7讲-解三角形应用举例.docx

第7讲解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等学问解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知 识 梳 理1距离的测量背景可测元素图形目标及解法两点均可到达a，b，求AB：AB只有一点可到达b，求AB：(1)B；(2)两点都不行到达a，求AB：(1)ACD中，用正弦定理求AC；(2)BCD中，用正弦定理求BC；(3)ABC中，用余弦定理求AB2.高度的测量背景可测元素图形目标及解法底部可到达a，求AB：ABatan_底部不行到达a，求AB：(1)在ACD中用正弦定理求AD；(2)ABADsin_3.实际问题中常见的角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数辨 析 感 悟1测量距离问题(1)海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10n mile，BAC60，ABC75，则B，C间的距离是5 n mile.()(2)如图1，为了测量隧道口AB的长度，测量时应当测量数据a，b，.()图1图22测量高度问题(3)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(4)如图2，B，C，D三点在地面同始终线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为和()，则可以求出A点距地面的高度AB.()3测量角度问题(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观看点与目标点之间的位置关系，其范围均是.()(6)若点A在点C的北偏东30方向，点B在点C的南偏东60方向，且ACBC，则点A在点B北偏西15方向()感悟提升1一个区分“方位角”与“方向角”的区分：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.2解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)依据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)依据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，留意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.同学用书第66页考点一测量距离问题【例1】 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A，B之间的距离解如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB(km)，A，B之间的距离为 km.规律方法 (1)测量两个不行到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决(2)测量从一个可到达的点到一个不行到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决【训练1】 (2021茂名二模) 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45.就可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D.m解析由正弦定理得，AB50 (m)答案A考点二测量高度问题【例2】 如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为60.(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.解(1)依题意知，在DBC中，BCD30，DBC180DBF18045135，CD6 000100(米)，D1801353015，由正弦定理得，BC50(1)(米)在RtABE中，tan .AB为定长，当BE的长最小时，取最大值60，这时BECD.当BECD时，在RtBEC中，ECBCcosBCE50(1)25(3)(米)设该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了t分钟，则t6060(分钟)(2)由(1)知当取得最大值60时，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCD，ABBEtan 60BCsinBCDtan 6050(1)25(3)(米)即所求塔高AB为25(3) 米规律方法 (1)测量高度时，要精确理解仰、俯角的概念(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理(3)留意竖直线垂直于地面构成直角三角形【训练2】 (2022宁波模拟)某高校的大门蔚为壮丽，有个同学想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC9米，利用测角仪测得仰角ACB45，测得仰角BCD后通过计算得到sinACD，则AD的距离为 ()A2米 B2.5米 C3米 D4米解析设ADx，则BD9x，CD，在ACD中应用正弦定理得，即，所以292(9x)226x2，即818118xx213x2，所以2x23x270，即(2x9)(x3)0，所以x3(米)答案C考点三测量角度问题【例3】 如图，在海岸A处，发觉北偏东45方向距A为(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：2.449)同学用书第67页审题路线分清已知条件和未知条件设行驶t小时，则CD，BD可求在ABC中，用余弦定理求BC，用正弦定理求sinABC在BCD中，用正弦定理求BCD可推出BDBC再求t回到实际问题中去解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD10t(海里)，BD10t(海里)在ABC中，AB(1)海里，AC2海里，BAC4575120，依据余弦定理，可得BC(海里)依据正弦定理，可得sinABC.ABC45，易知CB方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD中，依据正弦定理，可得sinBCD，BCD30，BDC30，BDBC海里，则有10t，t0.245小时14.7分钟故缉私船沿北偏东60方向，需14.7分钟才能追上走私船规律方法 (1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解(2)依据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量【训练3】 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心马上把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos 等于()A. B. C. D.解析如图所示，在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，故BC20(海里)由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.答案B1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题建模(精确地画出图形)求解检验作答2把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值3解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解教你审题4破解实际应用中的方向角问题【典例】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A动身沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处动身沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值 审题一审条件：“南偏西60”转化到ABC中，即BAC120；二审条件：“北偏东”可得BCA；三审条件：“刚好用两小时追上”指|AC|20 海里解(1)依题意知，BAC120，AB12海里，AC10220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28(海里)所以渔船甲的速度为14(海里/时)(2)由(1)知BC28海里，AB12海里，在ABC中，BCA，由正弦定理得.即sin .反思感悟 本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理进行求解【自主体验】一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，依据正弦定理得，解得BC10(海里)答案A基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等，灯塔A在观看站北偏东40，灯塔B在观看站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10解析灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010，即北偏西10.答案B2在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2，连续在水平地面上前进300 m后，测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A300 m B450 m C300 m D600 m解析如图所示，易知，在ADE中，DAE2，ADE1804，AD300 m，由正弦定理，得，解得cos 2，则sin 2，sin 4，所以在RtABC中山峰的高度h300sin 4300450(m)答案B3要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A100 m B400 m C200 m D500 m解析由题意画出示意图，设塔高ABh m，在RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDh m，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得3h2h25002h500，解得h500(m)答案D4(2022广州调研)如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于()A. B. C. D.解析由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .答案A5(2021哈尔滨模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30 B45 C60 D75解析依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理，得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案B二、填空题6在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为_千米解析由已知条件CAB75，CBA60，得ACB45.结合正弦定理，得，即，解得AC(千米)答案7.(2021杭州一中测试)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.解析设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45，由正弦定理，得，v32 n mile/h.答案328某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为_m.解析过点D作DEAC交BC于E，由于DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin 45500(1)(m)答案500(1)三、解答题9.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC，在RtABC中，ABBCtanACB.10.(2022石家庄模拟)已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5 x，AC5海里，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，BC0.5 x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船力量提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 m C120 m D150 m解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，依据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案A2.如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A2.7 m B17.3 m C37.3 m D373 m解析在ACE中，tan 30.AE(m)在AED中，tan 45，AE(m)，CM10(2)37.3(m)答案C二、填空题3如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时张角ABC120；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时张角ADC150；从D处再攀登300米到达C处则石竹山这条索道AC长为_米解析在ABD中，BD200米，ABD120.由于ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得，所以.所以AD200(米)在ADC中，DC300米，ADC150，所以AC2AD2DC22ADDCcosADC(200)230022200300cos 150390 000，所以AC100(米)故石竹山这条索道AC长为100 米答案100三、解答题4(2021江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲动身2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在什么范围内？解(1)在ABC中，由于cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙动身t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B动身时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在(单位：m/min)范围内步骤规范练三角恒等变换及解三角形 (建议用时：90分钟)一、选择题1(2021山东师大附中月考)化简()A2 B C1 D1解析1.答案C2(2022潮州二模)在ABC中，A，AB2，且ABC的面积为，则边AC的长为()A1 B. C2 D.解析由题意知SABCABACsin A2AC，AC1.答案A3(2021成都五校联考)已知锐角满足cos 2cos，则sin 2等于()A. B C. D解析，2(0，)，.又cos 2cos，2或20，或(舍)sin 2sin ，故选A.答案A4(2022中山模拟)已知角A为ABC的内角，且sin 2A，则sin Acos A()A. B C D.解析A为ABC的内角，且sin 2A2sin Acos A0，sin A0，cos A0，sin Acos A0.又(sin Acos A)212sin Acos A.sin Acos A.答案A5(2021临沂一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2 Asin2 Csin2 Bsin Asin C，则角B为()A. B. C. D.解析由正弦定理可得a2c2b2ac，所以cos B，所以B.答案A6(2021湛江二模)若三条线段的长分别为3,5,7，则用这三条线段()A能组成直角三角形 B能组成锐角三角形C能组成钝角三角形 D不能组成三角形解析设能构成三角形的最大边为a7，所对角为A，则cos A0，故A为钝角，即构成的三角形为钝角三角形答案C7(2021安徽卷)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C()A. B. C. D.解析由3sin A5sin B，得3a5b，ab，代入bc2a中，得cb.由余弦定理，得cos C，C.答案B8(2021东北三校联考)设，都是锐角，且cos ，sin()，则cos ()A. B.C.或 D.或解析，都是锐角，当cos 时，sin .由于cos ，所以60.又sin()，所以60或120.明显60不行能，所以为钝角又sin()，因此cos()，所以cos cos()cos()cos sin()sin .答案A9已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9 C8 D5解析化简23cos2Acos 2A0，得23cos2A2cos2A10，解得cos A.由余弦定理，知a2b2c22bccos A，代入数据，得b5.答案D10(2021天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC()A. B. C. D.解析由余弦定理，得AC2BA2BC22BABCcos B()23223cos5.AC，由正弦定理，得sinBAC.答案C二、填空题11(2021浙江五校联盟联考)已知sin，且x，则cos 2x的值为_解析sin 2xcos12sin2122，x，2x.cos 2x.答案12已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_解析由ABC的三个内角A，B，C成等差数列，可得B60.又在ABD中，AB1，BD2，由余弦定理可得AD.答案13(2021济宁期末考试)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b1，c，C，则SABC_.解析由于cb，所以BC，所以由正弦定理得，即2，即sin B，所以B，所以A.所以SABCbc sin A.答案14(2022天水模拟)f(x)2sin2cos 2x1，x，则f(x)的最小值为_ .解析f(x)2sin2cos 2x11cos 2cos 2x1coscos 2xsin 2xcos 2x2sin，由于x，所以2x，所以sin1，所以12sin2，即1f(x)2，所以f(x)的最小值为1.答案1三、解答题15(2021新课标全国卷)如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA.解(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理，得PA232cos 30.故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理，得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanPBA.16(2021江西卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解(1)由已知得cos(AB)cos Acos Bsin Acos B0，即有sin Asin Bsin Acos B0，由于sin A0，所以sin Bcos B0，又cos B0，所以tan B，又0B，所以B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accos B.由于ac1，cos B，所以b232.又0a1，于是有b21，即有b1.故b的取值范围是.17(2021潍坊一模)已知ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos Bbsin Ac.(1)求角A的大小；(2)若a1，3，求bc的值解(1)由acos Bbsin Ac，得sin Acos Bsin Bsin Asin (AB)，即 sin Bsin Acos Asin B，所以tan A，故A.(2)由3，得bccos 3，即bc2，又a1，1b2c22bccos ，由可得(bc)274，所以bc2.18(2021重庆卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2abc2.(1)求C；(2)设cos Acos B，求tan 的值解(1)由于a2b2abc2，由余弦定理，得cos C，故C.(4)由题意得，因此(tan sin Acos A)(tan sinBcos B)，tan2sin Asin Btan (sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B，tan2sin Asin Btan sin(AB)cos Acos B.由于C，所以AB，所以sin(AB)，由于cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即sin Asin B，解得sin Asin B.由得tan25tan 40，解得tan 1或tan 4.同学用书第68页制造并非规律推理之结果，规律推理只是用来验证已有的制造设想。艾伯特爱因斯坦(18791955，美国物理学家)学校要求老师在训练过程中要像艺术家那样，制造性地劳动。首先，老师应当自己就曾在这样的学校中成长。其次，老师应当有极大的自由去选择教授内容和教授方法。爱因斯坦