2021届高考数学总复习课时训练：第6章-不-等-式第4课时-不等式的综合应用-.docx

第六章　不 等 式第第4课时　不等式的综合应用

1. (2021·徐州期中)设a、b∈R，a2＋2b2＝6，则的最大值是________．
答案：1
解析：过(3，0)点的直线与椭圆＋＝1相切时斜率最大，可求得切线的斜率为1即为所求．
2. (2021·无锡期中)定义在R上的函数y＝f(x)是增函数，且函数y＝f(x－2)的图象关于(2，0)成中心对称，设s、t满足不等式f(s2－4s)≥－f(4t－t2)，若－2≤s≤2时，则3t＋s的范围是________．
答案：[－8，16]
解析：由于函数y＝f(x－2)的图象关于(2，0)成中心对称，所以函数y＝f(x)的图象关于(0，0)成中心对称，即函数y＝f(x)为奇函数．又函数y＝f(x)是增函数，所以不等式化为s2－4s≥－4t＋t2，(s－t)(s＋t－4)≥0，在横轴为s轴，纵轴为t轴的直角坐标系中作出可行域，可求得直线z＝3t＋s分别过点(－2，－2)、(－2，6)时取得最小值－8和最大值16.
3. (2021·南京模拟)已知关于x的不等式(2ax－1)lnx≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的值为________．
答案：
解析：当x>1时，lnx>0，所以2ax－1≥0，即2a≥，所以a≥；当0<x<1时，2ax－1≤0，所以2a≤，所以a≤；当x＝1时，a∈R.综上所述，a＝.
4. (2021·苏锡常镇模拟)设函数f(x)＝lnx的定义域为(M，＋∞)，且M>0，对于任意a、b、c∈(M，＋∞)，若a、b、c是直角三角形的三条边长，且f(a)、f(b)、f(c)也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为________．
答案：
解析：设斜边为c，则a2＋b2＝c2，lna＋lnb>lnc，即ab>c，所以a2b2>c2＝a2＋b2，即1>＋.又＋<＋＝，故1≥，即M≥.
5. (2021·盐城模拟)若实数a、b、c、d满足＝＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为________．
答案：(1－ln2)2
解析：由题意得，(a，b)、(c，d)分别为函数y＝x2－2lnx和y＝3x－4图象上任意一点，当函数y＝x2－2lnx图象上点(a，b)处的切线与直线y＝3x－4平行时(a－c)2＋(b－d)2最小，由2x－＝3得x＝2，所以点(2，4－2ln2)到直线y＝3x－4的距离的平方(1－ln2)2即为所求的最小值．
6. (2021·台州调研)若实数a、b满足ab－4a－b＋1＝0(a＞1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．
答案：27
解析：∵ ab－4a－b＋1＝0，∴ b＝，ab＝4a＋b－1.
∴ (a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋·2＋1＝6a＋＋1＝6a＋8＋＋1＝6(a－1)＋＋15.
∵ a＞1，
∴ a－1＞0.∴ 原式＝6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27.当且仅当(a－1)2＝1，即a＝2时等号成立．∴ 最小值为27.

7. 若对任意x∈R，不等式3x2－2ax≥|x|－恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：－1≤a≤1
解析：当x＝0时，a∈R；当x>0时，2a≤3x＋－1，由于3x＋－1≥2－1＝2，所以a≤1；当x<0时，2a≥3x＋＋1，由于3x＋＋1＝－＋1≤－3＋1＝－2，所以a≥－1.综上所述，－1≤a≤1.
8. (2021·南通模拟) 设实数x1、x2、x3、x4、x5均不小于1，且x1x2x3x4x5＝729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是________．
答案：9
解析：设M＝max，则M≥x1x2，M≥x2x3，M≥x3x4，M≥x4x5，相乘得M4≥x1xxxx5＝.由于M≥x1，M≥x5，所以x1x5≤M2，
所以M4≥x1xxxx5＝≥，
即M6≥7292，亦即M≥9，
当x1＝x3＝x5＝9，x2＝x4＝1时，M＝9.
9. 函数f(x)＝ax2－2(a－3)x＋a－2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的全部的a值的和为________．
答案：－14
解析：由ax2－2(a－3)x＋a－2＝0得a(x－1)2＝2－6x，明显x＝1不成立，所以x≠1，所以a＝.由于a为负整数，所以x>且(x－1)2<6x－2，解得4－<x≤4＋，将x＝2，3，4，5，6，7代入a＝得x＝2，x＝3符合条件，此时a＝－10，a＝－4，故全部的a值的和为－14.
10. 函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1) f(x)≥a，即x2＋ax＋3－a≥0对x∈R恒成立，
∴ a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2.
(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，
即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，则
Δ＝a2－4(3－a)≤0，解得－b≤a≤2，
或无解，

或解得－7≤a≤4.
∴ 实数a的取值范围是－7≤a≤2.
11. 小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从其次年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元，小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25－x万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1) 大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2) 在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)　
解：(1) 设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则
y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0<x≤10，x∈N)，
即y＝－x2＋20x－50(0<x≤10，x∈N)，
由－x2＋20x－50>0，解得10－5<x<10＋5，
而2<10－5<3，故从第3年开头运输累计收入超过总支出．
(2) 由于利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手车后，小张的年平均利润为y －＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25)＝19－，
而19－≤19－2＝9，当且仅当x＝5时等号成立．
故小张应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．